Ricevo da Alessia la seguente domanda:
In un triangolo rettangolo \(ABC\) la lunghezza dell'ipotenusa \(BC\) è \(l\); determina la misura dell'altezza \(AH\) relativa all'ipotenusa in modo che sia minima la differenza fra i volumi dei due coni ottenuti in una rotazione completa del triangolo \(ABC\) intorno al lato \(BC\).
Caro prof, ho bisogno del suo aiuto, grazie mille.
Le rispondo così:
.png)
Cara Alessia,
poniamo \(h=AH\) la misura dell’altezza, osservando che tale misura è compresa nell’intervallo \([0,l/2]\) (il vertice \(A\) lo si può immaginare vincolato ad una semicirconferenza di diametro \(BC=l\), con \(A\) compreso in una delle due metà di tale semicirconferenza, poiché nell’altra metà si avrebbe, per simmetria, una inutile replica delle stesse configurazioni già esaminate nella prima). Dette \(x\) e \(y\) le proiezioni dei cateti \(AB\) e \(AC\) sull’ipotenusa, possiamo ricavarne la misura in funzione di \(h\) e del parametro \(l\) utilizzando il secondo teorema di Euclide (che implica \(BH\cdot HC=AH^2\)):
\[\left\{ \begin{array}{ll} xy=h^2 \\ x+y=l \end{array} \right.\;\;\; .\]
La simmetria del sistema ci dice che le soluzioni che si ottengono per un’incognita sono le stesse, in ordine scambiato, che si ottengono anche per l’altra:
\[{{x}^{2}}-lx+{{h}^{2}}=0\Rightarrow {{x}_{1,2}}={{y}_{2,1}}=\frac{l\pm \sqrt{{{l}^{2}}-4{{h}^{2}}}}{2}\]
I volumi \(V_1\) e \(V_2\) dei due coni si ottengono quindi assumendo per entrambi \(h\) come raggio di base e i due valori suddetti come altezze, per cui:
\[{{V}_{1}}-{{V}_{2}}=d\left( h \right)=\frac{{{h}^{2}}\pi \left( l+\sqrt{{{l}^{2}}-4{{h}^{2}}} \right)}{6}-\frac{{{h}^{2}}\pi \left( l-\sqrt{{{l}^{2}}-4{{h}^{2}}} \right)}{6}=\frac{{{h}^{2}}\pi \left( \sqrt{{{l}^{2}}-4{{h}^{2}}} \right)}{3}\ .\]
Si tratta ora di derivare rispetto a \(h\) l’espressione di \(d(h)\):
\[d'\left( h \right)=\frac{\pi }{3}\left( 2h\sqrt{{{l}^{2}}-4{{h}^{2}}}-\frac{4{{h}^{3}}}{\sqrt{{{l}^{2}}-4{{h}^{2}}}} \right)=\frac{2\pi h\left( {{l}^{2}}-6{{h}^{2}} \right)}{3\sqrt{{{l}^{2}}-4{{h}^{2}}}}\ .\]
Se ora esaminiamo gli zeri e il segno di questa espressione nell’intervallo di accettabilità di \(h\), osserviamo che la derivata si annulla per \(h=0\) e per \(h=l\sqrt{6}/6\), e che è positiva tra \(0\) e \(\sqrt{6}/6\), negativa tra \(\sqrt{6}/6\) e \(l/2\): questo implica che la funzione è dapprima crescente poi decrescente, quindi sia ha un minimo per \(h=0\), un massimo per \(h=l\sqrt{6}/6\): se la consegna del problema non è sbagliata, la minima differenza tra i volumi dei due coni si realizza quindi quando l’altezza è nulla, il triangolo degenera in un segmento ed entrambi i coni hanno volume nullo. Si osservi inoltre che tale minimo, cioè zero, si ottiene anche per \(h=l/2\), valore in cui la funzione non è derivabile (ha derivata infinita) e che quindi non può essere determinato ricorrendo allo studio della derivata.
Se si fosse richiesto un massimo, la risposta sarebbe stata univoca: \(h=l\sqrt{6}/6\).
Massimo Bergamini