Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Professore la prego, mi aiuti a risolvere quest’altro quesito esso dice: Sono date due circonferenze di raggi \(r\) e \(2r\), tangenti internamente in \(A\). Sia \(O\) il centro della circonferenza minore e \(AB\) il suo diametro. Sulla tangente in \(A\) considera un punto \(E\) tale che \(AE=2r\). Da \(A\) conduci una semiretta che incontri la circonferenza minore in \(S\) e la maggiore in \(Q\) in modo che \(S\), \(Q\) e \(E\) stiano dalla stessa parte rispetto alla semiretta \(AB\). Determina il limite del rapporto \(QS^2/QE^2\) quando \(Q\) tende ad \(A\) (Manuale blu di matematica, pag. 183 n. 452).
Grazie mille professore, attendo una vostra risposta.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
detto \(x\) l’angolo \(EAQ\), poiché i triangoli \(ABS\) e \(AFQ\) sono rettangoli (inscritti in semicirconferenze) e simili, con angoli interni in \(B\) e in \(F\) congruenti a \(x\), sia ha:
\[QA=4r\sin x\quad SA=2r\sin x\to Q{{S}^{2}}={{\left( QA-SA \right)}^{2}}=4{{r}^{2}}{{\sin }^{2}}x\]
Applicando il teorema di Carnot al lato \(EQ\) del triangolo \(EAQ\) si ha:
\[Q{{E}^{2}}=E{{A}^{2}}+A{{Q}^{2}}-2EA\cdot AQ\cdot \cos x=4{{r}^{2}}+16{{r}^{2}}{{\sin }^{2}}x-16{{r}^{2}}\sin x\cos x\]
per cui
\[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{Q{{S}^{2}}}{Q{{E}^{2}}}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\sin }^{2}}x}{1+4{{\sin }^{2}}x-4\sin x\cos x}=\frac{0}{1}=0\quad .\]
Massimo Bergamini