Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore, può aiutarmi a risolvere questo quesito?
I cateti \(AB\) ed \(AC\) del triangolo rettangolo \(BAC\) hanno per misura rispettivamente \(1\) e \(2\). Condurre per il vertice \(A\) una retta \(r\) non secante il triangolo in modo che, sempre rispetto al segmento \(AB\), sia \(k\) la misura del segmento \(B^\prime C^\prime\) che si ottiene proiettando ortogonalmente su di essa l’ipotenusa \(BC\).
Discutere i risultati e far vedere:
(a) che per \(k=1+\sqrt{3}/2\) si ha una sola soluzione data da una retta inclinata su \(AC\) di \(60{}^\circ\);
(b) che per \(k=3/\sqrt{2}\) si hanno due soluzioni delle quali una è data da una retta \(r_1\) inclinata su \(AC\) di \(45{}^\circ\);
É in facoltà del candidato di risolvere e discutere il problema anche per via geometrica e far vedere che delle due soluzioni che si hanno per \(k=3/\sqrt{2}\), quella data dalla retta \(r_1\) corrisponde al massimo dell’area del trapezio \(BCC^\prime B^\prime\).
Professore, l’area massima so che si trova con il concetto di derivata, può farmi vedere come? Attendo una vostra risposta, grazie mille
Le rispondo così:
Cara Elisa,
posto \(x\) l’angolo tra \(r\) e il prolungamento di \(AC\) dalla parte di \(A\), con \(0\leq x \leq \pi/2\), osserviamo che corrispondono a \(x\) anche gli angoli \(B^\prime BA\) e \(CAC^\prime\), per cui:
\[B'C'=B'A+AC'=\sin x+2\cos x\quad .\]
L’equazione da discutere
\[\sin x+2\cos x=k\quad \quad \quad 0\le x\le \frac{\pi }{2}\]
equivale, posto al solito \(X=\cos x\) e \(Y=\sin x\), al seguente sistema:
\[\left\{ \begin{array}{lll} Y+2X=k \\ X^2+Y^2=1 \\ 0\leq X,Y \leq 1 \end{array} \right.\]
che rappresenta le intersezioni tra l’arco di circonferenza goniometrica compreso nel primo quadrante e il fascio di rette parallele di pendenza \(m=-2\). Con l’usuale procedimento grafico-algebrico, concludiamo che:
per \(1\leq k < 2\) si ha una sola soluzione; in particolare per \(k=1+\sqrt{3}/2\) si ha \(X=1/2\), \(Y=\sqrt{3}/2\), cioè \(x=\pi/3\);
per \(2\leq k \leq \sqrt{5}\) si hanno due soluzioni; in particolare per \(k=3/\sqrt{2}\) una delle soluzioni è \(X=\sqrt{2}/2\), \(Y=\sqrt{2}/2\), cioè \(x=\pi/4\).
Che per \(x=\pi/4\) si abbia il massimo valore dell’area \(S(x)\) del trapezio \(BCC^\prime B^\prime\) si può dimostrare anche senza l’uso delle derivate, poiché tale area è data da
\[S\left( x \right)={{S}_{ABC}}+{{S}_{ABB'}}+{{S}_{ACC'}}=1+\frac{\sin x\cos x}{2}+\frac{4\sin x\cos x}{2}=\frac{1}{2}+\frac{5}{4}\sin \left( 2x \right)\]
e tale espressione è massima quando lo sia \(\sin (2x)\), cioè se e solo se
\[\sin \left( 2x \right)=1\to 2x=\frac{\pi }{2}\to x=\frac{\pi }{4}\quad .\]
Comunque, la derivata di \(S(x)\) rispetto a \(x\) è \(5\cos (2x)/2\), che si annulla per \(x=\pi/4\), passando da positiva a negativa: in tale punto quindi la funzione presenta un massimo locale.
Massimo Bergamini