Ricevo da Anna Rita la seguente domanda:
La funzione
\[y=\sqrt{-4{{x}^{2}}+12x+7}\]
ammette un punto di massimo?
Grazie mille Professore, confido in una sua risposta perché mi sono bloccata su questo esercizio!!!
Le rispondo così:
Cara Anna Rita,
sì, certo, come puoi verificare derivando la funzione, che esiste per \(-1/2\leq x \leq 7/2\):
\[y'=\frac{2\left( 3-2x \right)}{\sqrt{-4{{x}^{2}}+12x+7}}\]
Tale derivata si annulla in \(x=3/2\), ed è positiva prima e negativa dopo tale valore, che quindi rappresenta un max relativo (e anche assoluto, in questo caso) per la funzione.
Allo stesso risultato si poteva pervenire per via geometrico-analitica, osservando che il grafico della funzione è una semi-ellisse canonica con il centro traslato nel punto \((3/2,0)\), il cui vertice \((3/2,4)\) corrisponde al punto di massimo cercato.
Massimo Bergamini