Lucia chiede aiuto in merito al seguente quesito d'esame:
Si scriva l’equazione della tangente al diagramma della funzione: \(\int\limits_{1}^{\sqrt{\ln x}}{\frac{{{e}^{t}}}{{{t}^{2}}}dt}\) nel punto \(P\) di ascissa \(x=e\).
Ricevo da Lucia la seguente domanda:
Caro professore,
mi potrebbe spiegare questo esercizio (pag.2081, n.19, Matematica.blu 2.0)?
Si scriva l’equazione della tangente al diagramma della funzione: \(\int\limits_{1}^{\sqrt{\ln x}}{\frac{{{e}^{t}}}{{{t}^{2}}}dt}\) nel punto \(P\) di ascissa \(x=e\).
(Esame di Stato, Liceo Scientifico, Corso sperimentale, Sessione suppletiva, 2008, quesito 9)
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Lucia,
la funzione \(F\left( x \right)=\int\limits_{1}^{\sqrt{\ln x}}{\frac{{{e}^{t}}}{{{t}^{2}}}dt}\) può vedersi come funzione composta delle funzioni \(y=\sqrt{\ln x}\) e \(G\left( x \right)=\int\limits_{1}^{x}{\frac{{{e}^{t}}}{{{t}^{2}}}dt}\), per cui \(F\left( x \right)=G\left( y\left( x \right) \right)\), e poiché per il teorema fondamentale del calcolo integrale si ha che \(G(x)\) è una primitiva della funzione integranda \(\frac{{{e}^{x}}}{{{x}^{2}}}\) per ogni \(x\in \left[ 1,+\infty \right[\), essendo questa continua in tale intervallo, si ha: \[F'\left( x \right)=G'\left( y\left( x \right) \right)\cdot y'\left( x \right)=\frac{{{e}^{\sqrt{\ln x}}}}{\ln x}\cdot \frac{1}{2x\sqrt{\ln x}}\] e quindi: \[F'\left( e \right)=\frac{{{e}^{\sqrt{\ln e}}}}{\ln e}\cdot \frac{1}{2e\sqrt{\ln e}}=\frac{e}{2e}=\frac{1}{2}\] e poiché \(F\left( e \right)=\int\limits_{1}^{\sqrt{\ln e}}{\frac{{{e}^{t}}}{{{t}^{2}}}dt}=\int\limits_{1}^{1}{\frac{{{e}^{t}}}{{{t}^{2}}}dt}=0\), si ha la retta tangente nel punto \(P(e;0)\) al grafico di \(F(x)\): \[y=\frac{1}{2}\left( x-e \right)\quad .\]
Si noti che la funzione \(F(x)\) non può essere ricvata esplicitamente come espressione analitica finita di \(x\), poiché l’integrale della funzione \(\frac{{{e}^{t}}}{{{t}^{2}}}\) non può essere calcolato in termini finiti.
Massimo Bergamini
