Ricevo da Rosanna la seguente domanda:
Salve professore, ho dei dubbi che non riesco a risolvere. O meglio, penso si proceda in un modo ma non sono sicura di ciò. Si tratta della seguente disequazione:
\[\frac{1}{3}\left| x \right|+\log \left( \frac{\left| x \right|-1}{\left| x \right|-2} \right)>0\quad .\]
Io procederei facendo un sistema tra \(|x|>0\) e \(\log\left((|x|-1)/(|x|-2)\right)>0\), dove quest'utima la risolverei ponendo l'argomento del logaritmo >1, cioè: \(\left((|x|-1)/(|x|-2)\right)>1\). Le soluzioni della disequazione sono quelle comuni ad entrambi.
Le rispondo così:
Cara Rosanna,
mi spiace ma non sono proprio d’accordo! Lo sarei se tra i due termini a primo membro ci fosse un segno di moltiplicazione, ma mi pare proprio che ci sia una somma!…Purtroppo questo rende le cose molto meno ovvie, trattandosi di una espressione “mista”, un po’ algebrica e un po’ logaritmica, e mentre il termine algebrico è sempre non negativo, altrettanto non si può dire di quello logaritmico, per cui la disequazione va affrontata come studio del segno di una funzione, o come confronto tra funzioni, e comunque con gli strumenti dell’analisi.
Una prima osservazione: la funzione a primo membro è pari, cioè invariante per scambio \(x\leftrightarrow -x\): il grafico risulta simmetrico rispetto all’asse \(y\), ed è quindi sufficiente esaminare la disequazione per \(x>0\) ed estendere poi il risultato a tutto l’asse reale tenendo conto della simmetria. Possiamo quindi ricondurre la disequazione al problema di stabilire per quali \(x>0\) si abbia
\[\log \left( \frac{x-1}{x-2} \right)>-\frac{1}{3}x\quad .\]
Tenendo conto che, per \(x>0\), la funzione \(y=\log \left( \left( x-1 \right)/\left( x-2 \right) \right)\) esiste solo per \(0<x<1\vee x>2\), e che per \(x>2\) è positiva, quindi sicuramente maggiore di \(y=-x/3\), resta da stabilire il comportamento delle due funzioni tra 0 e 1. Possiamo concludere che in tale intervallo la disequazione non è soddisfatta, poiché \(-x/3>\log \left( \left( x-1 \right)/\left( x-2 \right) \right)\) per ogni \(x\) compreso tra 0 e 1: infatti, il valore minimo in tale intervallo di \(y=-x/3\) è \(-1/3\), mentre, nello stesso intervallo, la funzione \(y=\log \left( \left( x-1 \right)/\left( x-2 \right) \right)\) assume al massimo il valore \(\ln(1/2)\approx -0,693<-1/3\), che è il valore assunto in \(x=0\), poiché nel resto dell’intervallo è continua e decrescente, avendo derivata sempre negativa:
\[y'=-\frac{1}{\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)}<0\quad \forall x:0<x<1\quad .\quad \]
Pertanto, la disequazione è risolta per ogni \(x<-2\) e per ogni \(x>2\).
Massimo Bergamini