Ricevo da Alessia la seguente domanda:
Si studi la funzione:
\[y=a\sin x+\cos^2 x\]
e se ne disegni il grafico dopo aver determinato \(a\) in modo che la curva abbia un flesso nel punto di ascissa \(x=7\pi/6\).
Le rispondo così:
Cara Alessia,
determiniamo innanzitutto il valore di \(a\) in modo che la derivata seconda della funzione nel punto di ascissa \(x=7\pi/6\) sia nulla, condizione necessaria per avere un flesso:
\[y'=a\cos x-2\cos x\sin x\quad y''=-a\sin x-2\cos \left( 2x \right)\]
da cui
\[y''\left( 7\pi /6 \right)=\frac{a}{2}-1\Rightarrow y''\left( 7\pi /6 \right)=0\Leftrightarrow a=2\ .\]
La funzione da studiare è pertanto
\[y=2\sin x+{{\cos }^{2}}x\]
periodica di periodo \(2\pi\), ovunque definita, continua e derivabile, limitata all’intervallo \([-2,2]\), con massimi relativi nei punti di ascissa \(x=\pi/2+2k\pi\), minimi relativi nei punti di ascissa \(x=3\pi/2+2k\pi\).
Massimo Bergamini