Ricevo da Antonella la seguente domanda:
Salve prof,
ho urgentemente bisogno del suo aiuto, devo svolgere questo esercizio, ma non so come fare.
Data la funzione:
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \sqrt{x}+2\;\;\;\;\;\;x\geq 0 \\ 2^x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x>0 \end{array} \right.\]
a) stabilire se \(f\) è invertibile e in caso affermativo calcolarne l’inversa;
b) stabilire, motivando la risposta, se \(f\) è continua nel punto \(x_0=0\).
Attendo una sua risposta.
Distinti saluti
Antonella.
Le rispondo così:
Cara Antonella,
poiché entrambi i “pezzi” di cui è composta la funzione sono crescenti nel loro sottodomino, e poiché \(\sqrt{x}+2\ge 2\) mentre, per \(x<0\), \(2^x<1\), la funzione risulta monotona crescente in tutto il proprio dominio, che è tutto \(\mathbb{R}\), quindi invertibile. Poiché il codominio di \(f\) è, come facilmente si osserva, \(\left] 0,1 \right[\cup \left[ 2,+\infty \right[\), la funzione inversa \(f^{-1}\) ha dominio \(\left] 0,1 \right[\cup \left[ 2,+\infty \right[\) e codominio tutto \(\mathbb{R}\), e la sua espressione è la seguente:
\[ f^{-1}=\left\{ \begin{array}{ll} log_2 x\;\;\;\;\;\;0<x<2 \\ (x-2)^2\;\;\;\;\;\;\;\;\;x\geq 2 \end{array} \right.\;\;.\]
La funzione chiaramente è discontinua in \(x_0=0\), poiché i limiti da destra e da sinistra per \(x\) che tende a \(x_0=0\) sono diversi:
\[\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=1\quad \quad \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=2\quad .\]
Massimo Bergamini