Un’equazione particolare

Persone, storie e dati per capire il mondo

Ricevo da Lucia la seguente domanda: Carissimo professore, avrei urgentemente bisogno del suo aiuto riguardo ad un esercizio che non riesco a risolvere (pag.2082, n.25, Matematica.blu 2.0). Determinare il valore del parametro \(t\) che soddisfa l’equazione \[\int\limits_{0}^{t}{\frac{{{e}^{x}}}{1+{{e}^{x}}}dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left( 3{{x}^{2}}+2x+1 \right)dx}\quad .\] Grazie. Le rispondo così: Cara Lucia, calcoliamo gli integrali coinvolti nell’equazione e ricaviamo il valore dell’incognita \(t\): \[\left[ \ln \left( 1+{{e}^{x}} \right) \right]_{0}^{t}=\left[ {{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x \right]_{0}^{1}\to \ln \left( 1+{{e}^{t}} \right)-\ln 2=3\to \ln \left( 1+{{e}^{t}} \right)=3+\ln 2\to \]\[\to 1+{{e}^{t}}={{e}^{3+\ln 2}}\to {{e}^{t}}=2{{e}^{3}}-1\to t=\ln \left( 2{{e}^{3}}-1 \right)\quad .\] Massimo Bergamini

Aula di Scienze

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