Ricevo da Maria la seguente domanda:
Gentile prof.re, nell'esame di matematica I dovevo studiare la funzione
\[f\left( x \right)=\frac{2x+1}{{{x}^{2}}-1}\]
Penso di aver fatto l'esercizio in modo esatto, ma non riesco a sviluppare il grafico. Potrebbe aiutarmi?
Le rispondo così:
Cara Maria,
la funzione, definita per \(x\neq \pm1\), nulla in \(x=-1/2\), positiva per \(-1<x<-1/2\) e per \(x>1\), negativa altrove, presenta asintoti verticali in corrispondenza di \(x=-1\) e \(x=1\), e ha come asintoto orizzontale l’asse \(x\). La derivata
\[f'\left( x \right)=-\frac{2\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}}\]
Non si annulla mai ed è sempre negativa, e questo mostra come la funzione sia sempre decrescente in ogni intervallo di cui è costituito il suo dominio, e il fatto che non presenti massimi o minimi relativi.
Massimo Bergamini