la funzione, definita per \(x\in {{D}_{f}}=\left] 0,+\infty \right[-\left\{ {{e}^{-1}} \right\}\), positiva per \(x>{{e}^{-1}}\), negativa per \(0<x<{{e}^{-1}}\) e mai nulla, ammette i seguenti limiti significativi: \[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+e}{1+\ln x}=\frac{e}{-\infty }=0\quad \underset{x\to {{\frac{1}{e}}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+e}{1+\ln x}=\]\[=\frac{{{e}^{-1}}+e}{1+{{\left( -1 \right)}^{-}}}=\frac{{{e}^{-1}}+e}{{{0}^{-}}}=-\infty \]
\[\underset{x\to {{\frac{1}{e}}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+e}{1+\ln x}=\frac{{{e}^{-1}}+e}{{{0}^{+}}}=+\infty \quad \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x+e}{1+\ln x}=\]\[=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{\ln x}=+\infty \quad .\]
Si ha quindi un asintoto verticale per \(x={{e}^{-1}}\), mentre non si ha un asintoto obliquo per \(x\to +\infty \) poiché si ha \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1+e/x}{1+\ln x}=0\quad .\]
Poiché la derivata \[f'\left( x \right)=\frac{x\ln x-e}{x{{\left( 1+\ln x \right)}^{2}}}\] si annulla per \(x=\bar{x}\approx 2,72\), soluzione dell’equazione trascendente \(x\ln x=e\), e tale derivata è negativa per \(0<x<{{e}^{-1}}\vee {{e}^{-1}}<x<\bar{x}\), positiva per \(x>\bar{x}\), si conclude che in \(x=\bar{x}\) la funzione presenta un minimo relativo, il cui valore è \(f\left( {\bar{x}} \right)=\bar{x}\).
Si osserva anche che\[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f'\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln x}{{{\left( 1+\ln x \right)}^{2}}}-\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{e}{x{{\left( 1+\ln x \right)}^{2}}}=0-\infty =-\infty \quad .\]
Massimo Bergamini
