Ricevo da Lucia la seguente domanda:Caro professore,potrebbe cortesemente aiutarmi a capire questi problemi? (nn. 139, 149, 154, pag.1050 Matematica multimediale.blu).1) Un’urna contiene \(3\) palline rosse, \(4\) verdi e \(2\) nere. Determina la probabilità che, estraendo consecutivamente \(4\) palline senza rimettere ogni volta la pallina nell’urna, esse siano, nell’ordine, \(2\) verdi, \(1\) nera e \(1\) rossa.2) Un’urna contiene \(3\) palline nere, \(4\) bianche e \(3\) verdi. Si estraggono consecutivamente tre palline, rimettendo ogni volta la pallina estratta nell’urna. Calcola la probabilità che esse siano:a. tutte nere;b. di uguale colore;c. di colore diverso;d. due nere e una bianca;e. almeno due nere.3) Un’urna contiene quattro palline con colori diversi: rosso, nero, bianco, giallo. Vengono estratte consecutivamente due palline, rimettendo nell’urna la prima pallina estratta.a. Calcola la probabilità che la prima pallina sia rossa o la seconda sia bianca.b. Quale sarebbe il valore della probabilità nell’ipotesi che la prima pallina estratta non venga rimessa nell’urna?Grazie.Le rispondo così:Cara Lucia,nel primo caso, trattandosi dell’intersezione di quattro eventi, la probabilità si ottiene moltiplicando tra loro le probabilità (condizionate) dei rispettivi eventi, cioè: \[p=\frac{4}{9}\cdot \frac{3}{8}\cdot \frac{2}{7}\cdot \frac{3}{6}=\frac{1}{42}\quad .\] Nel secondo caso, si ha:a. probabilità di estrarre tutte palline nere: \(p=\frac{3}{10}\cdot \frac{3}{10}\cdot \frac{3}{10}=\frac{27}{1000}\);b. probabilità di estrarre palline dello stesso colore: \(p={{\left( \frac{3}{10} \right)}^{3}}+{{\left( \frac{4}{10} \right)}^{3}}+{{\left( \frac{3}{10} \right)}^{3}}=\frac{27+64+27}{1000}=\frac{59}{500}\);c. probabilità di estrarre palline di colore diverso: poiché ci sono \(6\) possibili modi diversi di ordinare la sequenza dei tre colori diversi, e ciascun modo ha la stessa probabilità, si ha: \(p=6\cdot \frac{3}{10}\cdot \frac{4}{10}\cdot \frac{3}{10}=\frac{27}{125}\);d. probabilità di estrarre due nere e una bianca: ci sono tre modi equiprobabili di avere la bianca insieme a due nere, per cui si ha: \(p=3\cdot {{\left( \frac{3}{10} \right)}^{2}}\cdot \frac{4}{10}=\frac{27}{250}\);e. probabilità di estrarre almeno due palline nere: ci sono tre modi equiprobabili di avere due nere con una non nera, e un modo (vedi a.) di avere tre nere, per cui: \(p=3\cdot {{\left( \frac{3}{10} \right)}^{2}}\cdot \frac{7}{10}+{{\left( \frac{3}{10} \right)}^{3}}=\frac{27}{125}\).Nell’ultimo caso, la probabilità dell’evento “la prima è rossa” è \(\frac{1}{4}\), la probabilità dell’evento “la seconda è bianca” è pure \(\frac{1}{4}\), e la probabilità dell’evento intersezione “la prima è rossa et la seconda è bianca” ha probabilità \(\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{16}\) , per cui l’evento unione “la prima è rossa o la seconda è bianca” ha probabilità: \[p=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{16}=\frac{7}{16}\quad .\]Nell’ipotesi che la prima estratta non venga rimessa nell’urna, la probabilità dell’evento “la prima è rossa” rimane \(\frac{1}{4}\), e anche la probabilità dell’evento “la seconda è bianca” rimane \(\frac{1}{4}\), in quanto somma di due casi: prima estratta non bianca et seconda bianca, con probabilità \(\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{4}\) , prima estratta bianca et seconda bianca, con probabilità \(0\), mentre la probabilità dell’evento intersezione “la prima è rossa et la seconda è bianca” ha ora probabilità \(\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{12}\), poiché nel calcolo della probabilità dell’evento intersezione l’evento “la seconda è bianca…” va inteso in senso condizionato: “…sapendo che la prima estratta è bianca”, quindi: \[p=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{12}=\frac{5}{12}\quad .\]Massimo Bergamini
