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Volumi e integrali

Rispondo ad Evarist in merito al seguente quesito: Calcola il volume del solido che ha come base la regione finita di piano delimitata dalla curva di equazione assegnata e dall’asse \(x\) nell’intervallo segnato a fianco e come sezioni perpendicolari all’asse \(x\) quelle indicate: \[y=\sqrt{{{x}^{3}}-x},\quad \left[ 1;4 \right];\quad \text{semicerchi}.\]
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Ricevo da Evarist la seguente domanda:   Salve professore, ho incontrato problemi con il seguente quesito (n.82, pag.303, Matutor):   Calcola il volume del solido che ha come base la regione finita di piano delimitata dalla curva di equazione assegnata e dall’asse \(x\) nell’intervallo segnato a fianco e come sezioni perpendicolari all’asse \(x\) quelle indicate: \[y=\sqrt{{{x}^{3}}-x},\quad \left[ 1;4 \right];\quad \text{semicerchi}.\] Grazie.   Gli rispondo così:   Caro Evarist(e) (Galois?), si tratta di “sommare” in senso integrale, nell’intervallo assegnato, i volumi di sezioni (semicirconferenze di raggio \(y/2\)) di area \(S\left( x \right)=\frac{1}{2}\pi {{\left( \frac{\sqrt{{{x}^{3}}-x}}{2} \right)}^{2}}=\frac{\pi }{8}\left( {{x}^{3}}-x \right)\) e “spessore” \(dx\): \[V=\frac{\pi }{8}\int\limits_{1}^{4}{\left( {{x}^{3}}-x \right)dx}=\frac{\pi }{8}\left[ \frac{1}{4}{{x}^{4}}-\frac{1}{2}{{x}^{2}} \right]_{1}^{4}=\frac{\pi }{8}\left( 56+\frac{1}{4} \right)=\frac{225}{32}\pi \quad .\] Massimo Bergamini
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