Ricevo da Rosanna la seguente domanda:
Salve professore,
non riesco proprio a capire come approcciarmi ad un esercizio per studiare la continuità di una qualsiasi funzione: non capisco i passaggi che bisogna fare e soprattutto quando devo eguagliare \(f(x_0)=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\) (mi ritrovo che sono sempre diversi!!! Sicuramente sbaglio qualcosa). Se mi può aiutare con un esercizio che mi illustri i passaggi nel modo più semplice.
Grazie infinitamente.
Le rispondo così:
Cara Rosanna,
anche limitandoci ovviamente a funzioni reali di variabile reale, non so se possa bastare un esercizio per illustrare un concetto così fondamentale, anche se operativamente si può ricondurre il problema a un calcolo di limiti, o meglio: se \(x_0\) è un punto isolato del dominio \(D_f\) della funzione \(f(x)\), cioè esiste \(f(x_0)\) ma non è possibile definire \(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\), la funzione è comunque continua in \(x_0\), mentre se \(x_0\) non solo appartiene a \(D_f\) ma è d’accumulazione per \(D_f\) stesso (cioè è “attaccato” a \(D_f\)), allora la continuità in \(x_0\) si ha se e solo se, appunto, \(f(x_0)=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\).
Per dimostrare che una funzione, definita in \(x_0\), con \(x_0\) d’accumulazione per \(D_f\), non è continua in \(x_0\), basta dimostrare che \(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\) o non esiste o esiste ma non coincide con \(f(x_0)\). Ci sono poi teoremi che garantiscono la conservazione della continuità in un punto \(x_0\) quando si operino tra loro funzioni continue in \(x_0\) utilizzando le comuni operazioni algebriche (con cautele relative ai casi in cui si vengano ad avere operazioni non definite e forme indeterminate…), per cui in genere la continuità di una funzione composta da funzioni che si sanno continue deve essere controllata solo in alcuni punti più o meno facilmente individuabili, spesso creati “ad arte”, come nel caso tipico di funzioni definite “a tratti”.
Ad esempio, nella recente prova di matematica all’esame di stato dei licei scientifici di ordinamento, si aveva il seguente esercizio:
Per quale valore di \(k\) la funzione
\[\left\{ \begin{array}{ll} 3x^2-11x-4\;\;\;\;\;x\leq 4 \\ kx^2-2x-1\;\;\;\;\;x> 4 \end{array} \right. \]
è continua in \(x=4\)?
Poiché si ha \(f(4)=0\) e anche, trattandosi di semplice polinomio, \(\underset{x\to {{4}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0\),si tratta di trovare per quale o quali valori di \(k\), se esistono, si abbia:
\[\underset{x\to 4+}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0\to \underset{x\to 4+}{\mathop{\lim }}\,\left( k{{x}^{2}}-2x-1 \right)=0\to 16k-9=0\to k=\frac{9}{16}\ .\]
Questo esempio comporta limiti estremamente semplici, ma illustra comunque quale sia la logica di questo tipo di esercizio. Se vuoi due esempi classici di funzioni irrimediabilmente discontinue in un punto o addirittura in ogni punto di un intervallo, prova a riflettere su queste:
\[f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \sin(1/x)\;\;\;x\neq 0 \\ 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x=0 \end{array} \right. \]
\[g(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 1\;\;\;0\leq x \leq 1 \wedge x\in \mathbb{Q}\\ 0\;\;\;0\leq x \leq 1 \wedge x\in \mathbb{R}-\mathbb{Q} \end{array} \right. \]
La prima è comunque discontinua in \(x=0\), qualunque sia il valore che si attribuisca a \(f(0)\), poiché non esiste il limite di \(f(x)\) per \(x\) che tende a 0, la seconda è discontinua in ogni punto dell’intervallo \([0,1]\), poiché non esiste il limite di \(g(x)\) per \(x\) che tende a \(x_0\), comunque si scelga \(x_0\) in \([0,1]\).
Massimo Bergamini