Ricevo da Paola la seguente domanda: Gent.mo Professore, mi potrebbe aiutare a risolvere il seguente problema (pag.31, n.99, Verso la seconda prova di matematica)? Considera l’equazione differenziale

y^{'} = \frac{y}{x^{2}}

. a. Dimostra, senza risolvere l’equazione, che ogni sua soluzione ha derivata seconda nulla in corrispondenza di

x = \frac{1}{2}

. b. Ricava la soluzione generale dell’equazione differenziale e risolvi il corrispondente problema di Cauchy individuato dalla condizione iniziale

y (1) = \frac{1}{e}

. c. Si può affermare che per

x = \frac{1}{2}

il grafico di ogni soluzione che non si riduca alla funzione nulla

y = 0

presenta un punto di flesso? Motiva la risposta. Grazie. Le rispondo così: Cara Paola, riguardo al primo punto, consideriamo la derivata di entrambi i membri dell’equazione stessa, e otteniamo:

y^{″} = \frac{y^{'} x^{2} - 2 y x}{x^{4}} = \frac{y - 2 y x}{x^{4}} = \frac{y (1 - 2 x)}{x^{4}}

il che dimostra che, qualunque sia la soluzione

y (x)

, si ha

y^{″} (\frac{1}{2}) = 16 y (\frac{1}{2}) \cdot 0 = 0

. L’equazione è del primo ordine a variabili separabili, per cui, posto

y \neq 0

(

y = 0

è comunque una soluzione), si ha:

\int \frac{d y}{y} = \int \frac{d x}{x^{2}} \to \ln | y | = - \frac{1}{x} + c \to y (x) = \pm e^{c} \cdot e^{- \frac{1}{x}} = c \cdot e^{- \frac{1}{x}}

avendo indicato con

c

una costante reale qualsiasi (eventualmente anche nulla). La condizione di Cauchy implica:

c \cdot e^{- 1} = e^{- 1} \to c = 1 \to y (x) = e^{- \frac{1}{x}} .

Infine, si può affermare che per

x = \frac{1}{2}

il grafico di ogni soluzione che non si riduca alla funzione nulla

y = 0

presenta un punto di flesso perché, essendo

y (\frac{1}{2}) \neq 0

per ogni soluzione non nulla, si vede che la derivata seconda di ogni possibile

y (x)

cambia segno in un intorno di

x = \frac{1}{2}

, quindi tale punto rappresenta comunque un flesso. Massimo Bergamini