La matematica è una delle attività umane più universali: 7 per 8 fa 56 in Etiopia quanto in Cina. Però, anche se il risultato di una moltiplicazione è uguale in tutto il mondo, le strade per arrivarci possono essere diverse: molti popoli hanno sviluppato metodi ingegnosi e rapidi, che fossero utili per esempio in occasione delle contrattazioni commerciali in assenza di abachi. In molti casi si tratta di ricondursi a eseguire operazioni più semplici: moltiplicazioni con numeri più piccoli e addizioni. Le tecniche usate sono numerosissime; ecco alcune delle più interessanti.

Come facevano i turchi a moltiplicare con le dita?

La moltiplicazione turca – usata anche da diversi popoli antichi, da cui forse i turchi l’avevano imparata – si esegue usando gli strumenti più immediati a nostra disposizione: le dita delle mani. È una tecnica semplice, che però serve solo per moltiplicare fra loro due numeri compresi fra 5 e 10 (dando per scontato che si sappiano fare le moltiplicazioni fra due numeri minori di 5): oggi quindi ci interessa non tanto come strumento per i calcoli, quanto per il procedimento matematico alla base. Immaginiamo di voler calcolare 6 × 8. Per prima cosa si chiudono le mani a pugno, poi si sollevano nella mano sinistra tante dita quante sono le unità da aggiungere a 5 per ottenere il primo numero da moltiplicare. Per rappresentare il 6 quindi si alza un dito solo. Poi si fa la stessa cosa con la mano destra per il secondo numero da moltiplicare; nel nostro caso 8, per cui bisogna sollevare tre dita. moltiplicazione-1

Adesso possiamo risolvere la moltiplicazione. Il primo passaggio consiste nel contare le dita alzate: ogni dito alzato vale 10. Avendo 4 dita alzate otteniamo 40. Il secondo passaggio consiste nel contare le dita chiuse e moltiplicarle fra loro: ecco che ci siamo ricondotti a eseguire una moltiplicazione con numeri più piccoli. Nel nostro caso abbiamo 4 dita chiuse nella mano sinistra e due nella destra: 4 × 2 = 8. Infine si sommano i due parziali: 40 + 8 = 48 (cioè proprio il prodotto di 6 × 8). Non è un gioco di prestigio: se x e y sono i due numeri da moltiplicare, le dita alzate delle due mani rappresentano i numeri x – 5 e y – 5, mentre le dita chiuse rappresentano i numeri 10 – x e 10 – y. Così, l’operazione che abbiamo eseguito è 10 × [(x – 5 + y – 5)] + [(10 – x) × (10 – y)], cioè:

[10 x + 10 y – 100] + (100 – 10 x – 10 y + xy) = xy.

In questo video (in inglese) è spiegato come e perché funziona la moltiplicazione con le dita:

Che cosa ha in comune il metodo degli egiziani con il computer?

Il metodo egiziano è uno dei più antichi per eseguire le moltiplicazioni: lo testimonia il papiro di Rhind, del XVII secolo a.C. È una tecnica efficace per moltiplicare due numeri qualunque, anche grandi. Immaginiamo, per esempio, di voler moltiplicare 25 per 87. Tracciamo due colonne. Sulla prima si parte da 1 e si raddoppia ogni volta, senza superare il primo numero (nel nostro caso 25: ci fermiamo a 16 perché raddoppiandolo si arriverebbe a 32, che è maggiore di 25). moltiplicazione-2

Sulla seconda colonna partiamo invece con il secondo numero e lo raddoppiamo tante volte quante sono i numeri della prima colonna: moltiplicazione-3

Cerchiamo adesso nella prima colonna dei numeri la cui somma sia 25: i numeri sono 1, 8 e 16. Consideriamo solo questi numeri nella prima colonna e i loro corrispettivi nella seconda colonna, cancellando gli altri. Infine sommiamo i numeri rimasti nella seconda colonna. moltiplicazione-4

Il risultato è 87 + 696 + 1392 = 2175. Con questo sistema le uniche operazioni che bisogna saper fare a mente sono le addizioni e le moltiplicazioni per 2. Alla base di questa tecnica c’è l’uso delle potenze di 2: un po’ come la moltiplicazione binaria usata dai computer! Sulla colonna sinistra infatti quello che abbiamo fatto è scomporre 25 come 1 + 8 + 16 = 2⁰ + 2³ + 2⁴; nella colonna destra abbiamo considerato la somma 87 + 696 + 1392 = 87 × 1 + 87 × 8 + 87 × 16 = 87 × (1 + 8 + 16) = 87 × 25, cioè abbiamo applicato la proprietà distributiva della moltiplicazione. Gli egiziani però non facevano questi ragionamenti teorici: a loro bastava che il metodo funzionasse (che è poi la stessa cosa che facciamo tutti quando per eseguire una moltiplicazione usiamo la calcolatrice del computer).

In questo Come te lo spiego di Dany Maknouz puoi approfondire il codice binario usato dai computer (e forse dagli alieni!)

Qual è il metodo di moltiplicazione usato in Russia?

La moltiplicazione russa, usata nelle campagne fino a tempi recenti, è una variante del metodo egiziano. Immaginiamo, per esempio, di voler moltiplicare 89 per 37. Anche in questo caso si tracciano due colonne; nella prima colonna si scrive il primo numero da moltiplicare e lo si divide ogni volta per 2 (ignorando il resto se il numero è dispari) fino ad arrivare a 1 (prima o poi si arriva sempre a 1). moltiplicazione-5

Poi si scrive il secondo numero nella seconda colonna e si fa un procedimento opposto: invece di dividere per 2, si moltiplica ogni volta per 2, fino ad arrivare in corrispondenza dell’1 sulla prima colonna. moltiplicazione-6

A questo punto si deve fare la somma dei numeri sulla colonna di destra, scartando quelli che compaiono in corrispondenza di numeri pari sulla colonna di sinistra. moltiplicazione-7

Il risultato è dunque 3293. Con questo sistema le uniche operazioni che bisogna saper fare a mente sono le addizioni, le moltiplicazioni per 2 e – a differenza della moltiplicazione egiziana – anche le divisioni per 2. Ma perché funziona? Come nel metodo egiziano, si usano le potenze di 2: se si scrive 89 come somma di potenze di 2 si trova 89 = 1 + 8 + 16 + 64 = 2⁰ + 2³ + 2⁴ + 2⁸. Così 37 + 296 + 592 + 2368 = 37 × (1 + 8 + 16 + 64) = 37 × 89. I numeri 74, 148 e 1184 della seconda colonna non vanno conteggiati perché corrispondono alle moltiplicazioni di 37 per 2, per 4 e per 32, cioè le potenze di 2 che non compaiono nella scomposizione di 89.

Anche se non si parla di moltiplicazioni, questo articolo di Stefano Dalla Casa ci spiega come gli abitanti della Polinesia usavano le potenze di 2 per rappresentare i numeri.

Come funziona il metodo di moltiplicazione giapponese con i bastoncini?

Ai bambini giapponesi le moltiplicazioni venivano insegnate con l’uso di bastoncini (o, in assenza di bastoncini, disegnando segmenti): in ogni caso un metodo visuale, che risale forse alle antiche civiltà dell’India. Immaginiamo, per esempio, di voler moltiplicare 21 per 423. Per prima cosa rappresentiamo il primo numero con dei segmenti (o bastoncini) orizzontali: 1 per le unità (in alto) e 2 per le decine (in basso). moltiplicazione-8

Ora facciamo la stessa cosa con il secondo numero, ma disponendo i segmenti in verticale: 4 per le centinaia (a sinistra), 2 per le decine (al centro) e 3 per le unità (a destra). moltiplicazione-9

Adesso sovrapponiamo i due disegni: moltiplicazione-10

A questo punto per avere il prodotto dobbiamo contare gli incroci. Quelli in alto a destra (evidenziati con i pallini blu) rappresentano le unità del numero cercato: 3 incroci. Quelli subito a sinistra e subito sotto (evidenziati in rosso) rappresentano le decine: 2 + 6 = 8 incroci. Proseguendo, le centinaia (in verde, 4 + 4 = 8 incroci) e le migliaia (in giallo, 8 incroci). Perciò il risultato della moltiplicazione è 8883 (nel caso in cui gli incroci di qualche colore dovessero risultare più di 9, bisognerebbe fare un riporto). In questo caso non si ricorre alla notazione in potenze di 2: il procedimento è analogo alla moltiplicazione in colonna che si insegna a scuola. Infatti quello che succede è che nella parte alta del disegno si moltiplica il secondo numero (423) per l’ultima cifra del primo (1): il blocco di destra (i pallini blu) corrisponde alle unità del prodotto (3), il blocco centrale (i pallini rossi) alle decine (2) e il blocco di sinistra (i pallini verdi) alle centinaia (4). Nella parte bassa del disegno si moltiplica il secondo numero per la prima cifra del primo (2). I colori dei blocchi sono “scalati” di uno perché la cifra per cui si moltiplica è quella delle decine: proprio come nella moltiplicazione in colonna, dove con lo stesso trucco si lascia uno spazio vuoto a destra quando si moltiplica per la cifra delle decine. Se si volessero incolonnare i pallini colorati prima di sommarli, bisognerebbe appunto lasciare uno spazio vuoto a destra.

In questo video (in inglese) è spiegato come e perché funziona la moltiplicazione giapponese:

Quali tecniche di moltiplicazione usavano gli arabi?

Nel Medioevo gli arabi usavano diverse tecniche di calcolo, una delle quali consente di eseguire rapidamente moltiplicazioni fra numeri anche molto grandi. Immaginiamo, per esempio, di voler moltiplicare 467 per 38. Disegniamo una tabella con 3 colonne e 2 righe (perché il primo numero da moltiplicare ha 3 cifre e il secondo ne ha 2). Poi scriviamo i due numeri intorno alla tabella, il primo in alto, in orizzontale, e il secondo a destra, in verticale: moltiplicazione-12

Ora dividiamo ogni casella della tabella con una linea diagonale. moltiplicazione-13

Poi in ogni casella riportiamo il risultato della moltiplicazione delle cifre che la individuano, un po’ come nel gioco della battaglia navale: nella casella in alto a sinistra 4 × 3 = 12, e così via. La prima cifra va scritta nella parte alta della casella, e la seconda nella parte bassa. moltiplicazione-14

A questo punto si sommano i numeri presenti lungo le fasce diagonali, partendo in basso a destra. Scriviamo in blu le cifre ottenute. moltiplicazione-15

La prima diagonale (quella in basso a destra) contiene solo la cifra 6, quindi il totale è 6. La somma della seconda diagonale è 1 + 5 + 8 = 14, quindi 4 con il riporto di 1. La somma della terza diagonale è 2 + 8 + 4 + 2 (+ 1 di riporto) = 17 (7 e riporto 1). La somma della quarta diagonale è 1 + 2 + 3 (+ 1 di riporto) = 7. La quinta diagonale contiene solo la cifra 1, quindi il totale è 1. A questo punto, leggendo le cifre blu partendo in alto a sinistra, si legge il risultato: 17.746. Anche questa è una variante della moltiplicazione in colonna abituale. A ben guardare, anzi, ne è una versione semplificata: prima si eseguono tutte le moltiplicazioni cifra per cifra, e poi si calcolano i riporti, mentre nella moltiplicazione solita si salta questo passaggio e i riporti vengono sommati direttamente. Per esempio, nel nostro caso, la seconda diagonale contiene la cifra 1 (cifra delle unità del prodotto 7 × 3 = 21) e la cifra 8 (cifra delle unità del prodotto 6 × 8 = 48), più la cifra 5 che era il riporto della prima diagonale. E così via per tutte le altre diagonali. È un metodo molto evoluto, che però, a differenza di altri, presuppone la conoscenza delle tabelline. Del resto gli arabi avevano conoscenze matematiche eccezionali per l’epoca, non avevano certo bisogno di usare le dita! Questa tecnica è chiamata anche “moltiplicazione per gelosia”, ma non c’entrano i sentimenti. Introdotta in Europa alla fine del Medioevo, è stata descritta dal matematico italiano Luca Pacioli nel suo trattato Summa de Arithmetica del 1494, che parlava di «gelosia» nel significato (usato ancora oggi, anche se molto meno) di «grata per finestre»: era un modo per dire che si usa un reticolo, cioè una tabella. Il nome ha avuto successo, tanto che ancora oggi in inglese (come puoi vedere in questo video) si usa spesso il termine italiano: “Gelosia multiplication”.