Ricevo da Carola la seguente domanda:
Considerare la funzione \(f\left( x \right)=a{{e}^{2x}}+b{{e}^{-2x}}-x{{e}^{-2x}}\).
1) Determinare \(a\) e \(b\) in modo che il grafico di \(f(x)\) ammetta l’asse delle ascisse come asintoto orizzontale e che nel punto di intersezione con l’asse delle \(y\) la retta tangente sia parallela alla bisettrice del \(1°\) e del \(3°\) quadrante.
2) Studiare la funzione ottenuta al punto 1).
3) Calcolare l’area \(g(c)\) della parte di piano delimitata dalla funzione di cui al punto 2) in \([-1;c]\), con \(c>-1\). Calcolare poi il limite per \(c\rightarrow +\infty\) di \(g(c)\) e dare un’interpretazione geometrica del risultato ottenuto.

Ricevo da Alberto la seguente domanda:
Studiare in modo completo le seguenti funzioni e tracciarne il grafico:
\[f\left( x \right)=\left( {{x}^{2}}-1 \right){{e}^{x}}\quad g\left( x \right)=\sqrt[3]{x}{{e}^{\frac{1}{x}}}\quad h\left( x \right)=\arccos \left( {{2}^{\left| \left| x \right|-1 \right|}} \right)+1\quad k\left( x \right)={{x}^{3}}{{e}^{-{{x}^{2}}}}\quad .\]
Nel caso della funzione \(f(x)\), calcola l’area compresa tra la curva e l’asse delle \(x\), tra l’origine ed il punto di ascissa \(x=1\).

Ricevo da Giulia la seguente domanda:
Data la funzione
\[f\left( x \right)=\sqrt{\left| \log x \right|-1}\]
determinare il campo di esistenza, in quali punti esiste la derivata, la monotonia, eventuali estremi relativi ed infine dire se la funzione è invertibile in \(]0,\frac{1}{e}[\), ed eventualmente determinare la funzione inversa.

Ricevo da Sergio la richiesta di un suggerimento riguardo alla seguente equazione:
\[{{e}^{2x}}+{{e}^{\frac{7}{3}}}-{{e}^{2+x}}-{{e}^{\frac{3x+1}{3}}}=0\quad .\]

Ricevo da Luca la richiesta di un aiuto nel calcolo del seguente limite:
\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{x+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}}+\tan \frac{4}{\sqrt{x}} \right)}^{\sqrt{x}}}\]

Ricevo da Sara la seguente domanda:
Come si studia e si disegna il grafico di questa funzione?
\(f\left( x \right)={{e}^{2x}}\left| {{x}^{2}}+2x-5 \right|\)
e come si disegna il grafico di \(g(x)=1/f(x)\)?

Ricevo da Carola la richiesta di un aiuto in merito al calcolo dei seguenti limiti:
\[\underset{x\to \pi /{{4}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1-\tan x \right)}^{\tan \left( x+\frac{\pi }{4} \right)}}\]
\[\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-1}{{{e}^{x}}-e}\quad \quad .\]

Carola mi chiede aiuto in merito ai seguenti limiti:
\[\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{1/5}}-1}{{{x}^{1/7}}-1}\]
\[\underset{x\to \pi /{{4}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{\left( \tan x-1 \right)}^{\tan \left( x+\frac{\pi }{4} \right)}}\quad .\]

Ricevo da Mariano la seguente domanda:
Tra le primitive della funzione \(y=e^x \sin(e^x)\), individua quella il cui grafico passi per il punto \((\ln\pi;1)\).
Studia gli estremi relativi della funzione trovata.

Ricevo da Rosy il seguente problema:
Calcola lo spostamento \(x\) compiuto da un corpo di massa \(m\) sottoposto ad una forza di intensità \(F(x)=e^-{x^2}\) che forma un angolo di \(60^\circ\) con lo spostamento, in modo che sia massimo il lavoro compiuto dalla forza.