Il potenziale fra due sfere cariche

Luca propone un problema:

Una sfera metallica di raggio R = 0,10 m è caricata uniformemente con una carica Q1 = 10–12 C. Una seconda sfera metallica cava di raggi R2 = 0, 40 m e R3 = 0,50 m è concentrica con la prima. Se la sfera cava contiene una carica Q2 (non nota) sulla superficie interna e Q3 = 2·10–12 C su quella esterna, calcolare il potenziale elettrico nel punto a distanza d = 0,25 m dal centro.

Ecco la mia risposta:

Per determinare Q2 ragioniamo così. Supponiamo che la sfera maggiore cava sia inizialmente neutra. Ponendo al centro della sua cavità la sfera minore carica con carica Q1, per induzione si formerà una distribuzione di carica negativa sulla superficie interna, pari a –Q1, e una distribuzione di carica positiva sulla superficie esterna, pari a Q1. In questo modo, all'esterno della sfera maggiore, il sistema risulterà avere una carica complessiva Q1 pari alla carica della sfera minore.
Ora depositiamo sulla superficie esterna della sfera maggiore una carica ulteriore, pari alla differenza fra Q3 e Q1 (in modo che la superficie esterna assuma la carica Q3 desiderata). Questo non modificherà la carica presente sulla superficie interna, che resterà Q2 = –Q1 = –1 pC.
La carica totale sulla sfera maggiore cava risulterà quindi Q = Q3 + Q2 = 1 pC, e la carica totale del sistema risulterà Qtot = Q + Q1 = 2 pC.

Passiamo al potenziale. In un punto a distanza r dal centro all'esterno della sfera maggiore il potenziale coincide con quello di una carica puntiforme Qtot: Qtot/4πε0r. Il valore sulla superficie esterna è V(R3) = Qtot/4πε0R3. Poiché i conduttori sono volumi equipotenziali, anche sulla superficie interna sarà V(R2) = Qtot/4πε0R2.

Ora viene la parte difficile. Fra le due sfere il potenziale avrà di nuovo l'andamento proprio del potenziale di una carica puntiforme, con il valore della carica questa volta pari a Q1. Ma stavolta non possiamo porre il suo valore uguale a zero all'infinito, perché il valore V(R2) è stato appena fissato.
Ragioniamo così. La differenza di potenziale fra R2 e un punto a distanza r compreso fra le sfere sarà uguale alla differenza di potenziale per il caso di una carica Q1 puntiforme: V(R2) – V(r) = Q1/4πε0R2Q1/4πε0r. Poiché V(R2) = Qtot/4πε0R2, si ha Qtot/4πε0R2V(r) = Q1/4πε0R2Q1/4πε0r. Da qui si ricava V(r) = Qtot/4πε0R2Q1/4πε0R2 + Q1/4πε0r. Si noti che, per r = R2, questa espressione dà V(r) = V(R2), come deve essere.

Per la lezione