Due carrelli in equilibrio

Questo esercizio è difficile da decifrare:
Due carrellini sono attaccati tramite una fune di massa trascurabile, che scorre su un piolo privo di attrito; essi si muovono su una rotaia, a profilo triangolare, priva di attrito. Il carrellino 1 ha massa m1 = 400 g e gli angoli di inclinazione sono alpha = 25° e beta = 38°.
Calcola la massa del secondo carrellino affinché il sistema sia fermo.
Scrivere la relazione che lega le masse dei due corpi quando m1 scende con accelerazione a1.

Ecco la mia risposta:
La descrizione del sistema è molto ambigua. Eleonora (che ha proposto l’esercizio) deve avere davanti un disegno che non ha pensato di descrivere. Si parla di angoli di inclinazione, ma non si dice di cosa.
La mia ipotesi, basata sull’esperienza di questi anni, è che Eleonora intenda una situazione come quella rappresentata nel disegno qui di seguito. Risolverò l’esercizio come se i dati si riferissero ad esso.

Le frecce di colore nero rappresentano le forze peso sui due carrelli. Le frecce di colore rosso rappresentano le componenti di tali forze perpendicolari ai piani di appoggio (queste componenti vengono equilibrate dalle reazioni vincolari). Le frecce di colore blu rappresentano infine le componenti della forza peso parallele ai piani di appoggio: sono queste componenti che causano l’accelerazione con cui cadono (se cadono) i due carrelli. Come si può ricavare dalla trattazione vettoriale dell’equilibrio su un piano inclinato, i moduli delle componenti parallele della forza peso sono date dalle espressioni \(F_{//\,1}=m_1g\cdot\sin(\alpha)\) e \(F_{//\,2}=m_2g\cdot\sin(\beta)\).
I carrelli rimangono fermi se le due forze si equilibrano, quindi se i loro moduli sono uguali: \(m_1g\cdot\sin(\alpha)=m_2g\cdot\sin(\beta)\) da cui \(\displaystyle m_2=m_1\frac{\sin(\alpha)}{\sin(\beta)}=\mathrm{275\,g}\).

Se il filo è inestensibile, l’accelerazione con cui cade uno dei due carrelli è uguale a quella con cui sale l’altro. Tale accelerazione è data dal rapporto fra la forza totale \(F_T=m_1g\cdot\sin(\alpha)-m_2g\cdot\sin(\beta)\) e la massa totale \(m_T=m_1+m_2\),\[\displaystyle a=\frac{m_1\cdot\sin(\alpha)-m_2\cdot\sin(\beta)}{m_1+m_2}g.\]

Per la lezione