Una molla in fondo a un piano inclinato

Questo esercizio presenta una piccola ambiguità: Una molla ideale di massa trascurabile può essere compressa di 1 m da una forza di 1000 N. Essa è posta alla fine di un piano inclinato liscio che forma un angolo di 30° con l'orizzontale. Una massa M di 10 kg è lasciata cadere da ferma dal vertice del piano inclinato e si arresta momentaneamente dopo aver compresso la molla di 2 m. Di quanto si sposta la massa prima di fermarsi? Qual è la velocita' della massa un istante prima di toccare la molla? Ecco la mia risposta: La costante elastica della molla vale \(\displaystyle k=\mathrm{1000\,\frac{N}{m}}\), quindi l'energia potenziale elastica presente all'istante di massima compressione (quando l'oggetto è istantaneamente fermo a contatto della molla) vale \(\displaystyle E_{pot\,el\,fin}=\frac{1}{2}k\cdot x^2=\mathrm{2000\,J}\). Se si assume questa posizione istantanea dell'oggetto come zero dell'energia potenziale della forza peso e si trascurano gli attriti, questo è anche il valore costante dell'energia meccanica totale del sistema. Non riesco a capire l'espressione "Di quanto si sposta la massa prima di fermarsi?" Con qualche perplessità la interpreto come una richiesta di calcolare la distanza percorsa dall'oggetto dalla posizione iniziale in alto sul piano inclinato fino alla posizione di arresto istantaneo a contatto con la molla. In tale, osserviamo che nella posizione iniziale tanto l'energia potenziale elastica quanto l'energia cinetica sono nulle, quindi l'energia potenziale gravitazionale vale \(E_{pot\,gr\,in}=\mathrm{2000\,J}\) e il dislivello \(h\) fra questa posizione e lo zero dell'energia gravitazionale vale \(\displaystyle h_{in}=\frac{E_{pot\,gr\,in}}{mg}=\mathrm{20\,m}\). La distanza percorsa attraversando questo dislivello lungo un piano inclinato di \(30°\) è \(\displaystyle d=\frac{h_{in}}{\sin30°}=\mathrm{40\,m}\). La velocità all'istante del contatto con la molla si può trovare ragionando sull'energia cinetica a tale istante. Una strategia approssimata consiste nell'identificare tale energia cinetica con l'energia meccanica totale, cioè ponendo uguali a zero l'energia potenziale elastica (com'è certamente vero) sia l'energia potenziale gravitazionale. Però all'istante del contatto con la molla l'oggetto in caduta non si trova nella posizione di zero dell'energia potenziale gravitazionale, ma \(\mathrm{2\,m}\) più a monte, quindi \(\mathrm{1\,m}\) più in alto. L'energia cinetica non è quindi esattamente \(\mathrm{2000\,J}\), perché bisogna togliere \(\mathrm{98\,J}\) di energia potenziale gravitazionale residua.

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