Ho ricevuto da Marco la seguente domanda:
Caro prof,
può risolvere il seguente esercizio?
z-4 + [2(1 + i)8]/[1 – i√3] = 0.
La ringrazio anticipatamente
Gli rispondo così:
Caro Marco,
l’equazione che proponi, in cui chiaramente l’incognita z è intesa in campo complesso, si può riscrivere così:
z4 = [-1 + i√3]/[2(1 + i)8]
Il problema è dunque ricondotto a quello della determinazione delle quattro radici quarte del numero complesso
z0 = [-1 + i√3]/[2(1 + i)8]
A tale scopo, conviene porre z0 in forma goniometrica: il termine (1 + i) ha modulo √2 e argomento Pi/4, pertanto la sua 8° potenza ha modulo 16 e argomento 2Pi, cioè 2(1 + i)8 equivale al numero reale 32, mentre il termine -1 + i√3 ha modulo 2 e argomento 2Pi/3; pertanto z0 ha modulo 1/16 e argomento 2Pi/3.
La quattro radici quarte di z0 hanno pertanto modulo 1/2 e argomenti angolari Pi/6, 2Pi/3, 7Pi/6, 5Pi/3; in termini cartesiani, nel piano di Argand-Gauss i quattro numeri sono rappresentati dai vertici di un quadrato inscritto in una circonferenza di raggio 1/2:
z1 = √3/4 + i(1/4), z2 = -1/4 + i(√3/4), z3 = -√3/4 - i(1/4), z4 = 1/4 - i(√3/4).
Massimo Bergamini