Ricevo da Gelly la seguente domanda:
Caro prof gradirei un aiutino riguardo questo problema:
un triangolo ha il perimetro lungo 23,45 cm e due angoli misurano rispettivamente 45° e 60°.
Le rispondo così:
Cara Gelly,
se, come credo, la richiesta è di risolvere il triangolo ABC, cioè individuare le lunghezze dei lati \( a=BC \), \( b=AC \) e \( c=AB \) (il terzo angolo ovviamente misura 75°), posto che sia \( \angle CAB=45° \) e \( \angle ABC=60° \), si osserva facilmente che l’altezza relativa ad \( AB \) può essere vista sia come proiezione frontale di \( a \) che come proiezione frontale di \( b \), quindi:
$$ a\cdot \sin (60°) = b\cdot \sin (45°) \Rightarrow a= b\cdot \sqrt{2}/\sqrt{3}. $$
Inoltre, il lato \( c \) è esprimibile come somma delle proiezioni adiacenti di \(a \) e \( b \):
$$ c=a\cdot \cos(60°)+b\cdot \cos(45°) \Rightarrow c=a/2+b\sqrt{2}/2 \Rightarrow c=b\sqrt{2}/(2\sqrt{3})+b\sqrt{2}/2. $$
Il perimetro si può quindi esprimere in termini di \( b \):
$$ b+3b\sqrt{2}/(2\sqrt{3})+b\sqrt{2}/2=23,45 \Rightarrow b(3\sqrt{2}+\sqrt{6}+2\sqrt{3})=2\cdot \sqrt{3}\;\cdot 23,45 $$
da cui \( b=8,\;\;a \approx 6,532,\;\;c \approx 8,923 \).
Massimo Bergamini