Ricevo da Matteo la seguente domanda:
Gentile prof. Bergamini,
in uno degli esercizi in preparazione al compito viene richiesto di trovare l'insieme dei numeri complessi \( z \) tali che $$ (1+i)z=\sqrt{2}|z| .$$
Non so quale strategia seguire, ho provato a convertire il tutto in forma esponenziale e mi ritrovo un risultato finale \( \theta=-\pi/4 \) che non so interpretare. Lavorando invece in coordinate cartesiane non so come risolvere l'equazione irrazionale ottenuta.
Ringrazio anticipatamente per la sua attenzione,
Matteo
Gli rispondo così:
Caro Matteo,
il tuo risultato è corretto, infatti, tradotta in forma esponenziale, l’equazione diventa:
$$ \sqrt{2}\cdot e^{i\pi /4}\cdot\rho\cdot e^{i\theta}= \sqrt{2}\cdot \rho \Rightarrow e^{i(\pi /4+\theta)}= e^{0} $$
da cui, per \( 0 \leq \theta \leq 2\pi \), si ricava \( \theta =-\pi/4 \), indipendentemente dal valore di \( \rho \). Questo significa che ogni numero complesso \( z=\rho\cdot e^{-i\pi /4},\;\;\forall \rho \geq 0 \), risolve l’equazione: questo insieme di numeri equivale, nel piano di Gauss, alla semiretta \( y=-x,\;\;\;x \geq 0 \), come avresti potuto dedurre anche lavorando in coordinate cartesiane. Infatti, posto \( z=x+iy \), l’equazione diventa:
$$ (x-y)+i(x+y)= \sqrt{2}\cdot\sqrt{x^2+y^2} \Rightarrow \left \{ \begin{array}{ll} x+y=0 \\ x-y= \sqrt{2}\cdot\sqrt{x^2+y^2} \end{array} \right. $$
Sostituendo la prima equazione, cioè \( y=-x \), nella seconda, si ottiene \( x=|x| \), vera se e sole se \( x \geq 0 \), e quindi: \( y=-x,\;\;x \geq 0 \), che è la semiretta suddetta.
Massimo Bergamini