Ricevo da Vincenzo la seguente domanda:
Professore come si svolge questo limite?
\[\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{{{2}^{n}}+{{n}^{2}}+1}{{{2}^{n}}+1} \right)}^{{{n}^{2}}}}\]
Gli rispondo così:
Caro Vincenzo,
trattandosi di una forma indeterminata del tipo \(1^\infty\), cerchiamo di individuare la forma notevole \((1+1/t)^t\) per \(t\) tendente a \(\infty\):
\[\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{{{2}^{n}}+{{n}^{2}}+1}{{{2}^{n}}+1} \right)}^{{{n}^{2}}}}=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{1}{\left( {{2}^{n}}+1 \right)/{{n}^{2}}} \right)}^{{{n}^{2}}}}=\]
\[=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( {{\left( 1+\frac{1}{\left( {{2}^{n}}+1 \right)/{{n}^{2}}} \right)}^{\left( {{2}^{n}}+1 \right)/{{n}^{2}}}} \right)}^{{{n}^{4}}/\left( {{2}^{n}}+1 \right)}}\]
Ora, poiché \(\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{2}^{n}}+1}{{{n}^{2}}}=+\infty \) e \(\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{n}^{4}}}{{{2}^{n}}+1}=0\), essendo \(2^n\) un infinito di ordine superiore riepetto a \(n^m\), per qualsiasi esponente \(m\) assegnato, e ricordando il limite notevole \(\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{1}{t} \right)}^{t}}=e\), si ha che:
\[\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( {{\left( 1+\frac{1}{\left( {{2}^{n}}+1 \right)/{{n}^{2}}} \right)}^{\left( {{2}^{n}}+1 \right)/{{n}^{2}}}} \right)}^{{{n}^{4}}/\left( {{2}^{n}}+1 \right)}}=\]
\[={{\left( \underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{1}{\left( {{2}^{n}}+1 \right)/{{n}^{2}}} \right)}^{\left( {{2}^{n}}+1 \right)/{{n}^{2}}}} \right)}^{\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{n}^{4}}/\left( {{2}^{n}}+1 \right)}}={{e}^{0}}=1\ .\]
Massimo Bergamini