Ricevo da Filomena la seguente domanda:
Gentile prof, non riesco a risolvere questi due esercizi.
1) Calcolare l’area della regione piana compresa tra la parabola \(y=-2x^2-3x+2\), la retta \(y=-x/2+2\) e l'asse delle ascisse.
2) Calcolare l'area della regione piana compresa tra il grafico della funzione \(y=e^{x+1}\), la retta di equazione \(y=e^3\) e l'asse \(y\).
2) Calcolare l'area della regione piana compresa tra il grafico della funzione \(y=e^{x+1}\), la retta di equazione \(y=e^3\) e l'asse \(y\).
Cordiali saluti
Le rispondo così:
Cara Filomena,
nel primo caso direi che possiamo vedere l’area \(S_1\) da calcolare come l’area del quadrilatero curvilineo \(ABCD\), calcolabile come differenza tra l’area del sottografico della parabola tra i punti \(C\) e \(D\) e l’area del segmento parabolico definito dalla corda \(AB\), a sua volta calcolabile come differenza di due sottografici:
\[{{S}_{1}}=\int\limits_{-2}^{1/2}{\left( -2{{x}^{2}}-3x+2 \right)\,dx-\int\limits_{-5/4}^{0}{\left( \left( -2{{x}^{2}}-3x+2 \right)-\left( -x/2+2 \right) \right)}}\,dx=\]
\[=\left[ -\frac{2}{3}{{x}^{3}}-\frac{3}{2}{{x}^{2}}+2x \right]_{-2}^{1/2}-\left[ -\frac{2}{3}{{x}^{3}}-\frac{5}{4}{{x}^{2}} \right]_{-5/4}^{0}=\frac{125}{24}-\frac{125}{192}=\frac{875}{192}\quad .\]
Nel secondo caso possiamo procedere in due modi per calcolare l’area \(S_2\): osservare che il triangolo curvilineo \(ABC\) è isometrico al triangolo curvilineo \(A^\prime B^\prime C^\prime \) sottografico della funzione inversa di quella in esame, e quindi calcolare quest’ultima come integrale definito della funzione \(y=\ln(x)-1\) tra \(A^\prime\) e \(C^\prime\), oppure, più semplicemente, calcolare \(S_2\) come differenza tra l’area del rettangolo di base \(CB\) e altezza \(OC\) e l’area del sottografico della funzione \(y=e^{x+1}\) tra le ascisse dei punti \(A\) e \(B\):
\[{{S}_{2}}=2{{e}^{3}}-\int\limits_{0}^{2}{{{e}^{x+1}}\,dx}=2{{e}^{3}}-\left[ {{e}^{x+1}} \right]_{0}^{2}={{e}^{3}}+e=e\left( {{e}^{2}}+1 \right)\quad .\]
Massimo Bergamini