Ricevo da Carola la seguente domanda:
Caro professore,
come si fa a calcolare l'integrale improprio di primo tipo della funzione
\[f\left( x \right)=\frac{1}{4{{x}^{2}}-9}\]
nell'intervallo \([-\infty;-2]\)?
La ringrazio in anticipo.
Le rispondo così:
Cara Carola,
si tratta, per definizione, di calcolare, se esiste, il seguente limite:
\[\underset{k\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{-k}^{-2}{\frac{1}{4{{x}^{2}}-9}dx}\quad .\]
Poiché
\[\int{\frac{1}{4{{x}^{2}}-9}dx}=\int{\frac{1}{\left( 2x+3 \right)\left( 2x-3 \right)}dx}=\frac{1}{12}\int{\frac{1}{x-3/2}dx-}\frac{1}{12}\int{\frac{1}{x+3/2}dx}=\]
\[=\frac{1}{12}\ln \left| x-3/2 \right|-\frac{1}{12}\ln \left| x+3/2 \right|+c=\frac{1}{12}\ln \left| \frac{2x-3}{2x+3} \right|+c\]
si ha, tenendo conto che \(\underset{k\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 2k-3 \right)/\left( 2k+3 \right)=1\):
\[\int\limits_{-\infty }^{-2}{\frac{1}{4{{x}^{2}}-9}dx=}\underset{k\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \frac{1}{12}\ln \left| \frac{2x-3}{2x+3} \right| \right]_{-k}^{-2}=\underset{k\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \frac{\ln 7}{12}-\frac{1}{12}\ln \left| \frac{2k-3}{2k+3} \right| \right]=\frac{\ln 7}{12}\quad .\]
Massimo Bergamini