Ricevo da Giulia la seguente domanda:
Gentile professore,
potrebbe aiutarmi con questo esercizio?
Data la funzione
\[f\left( x \right)=\sqrt{\left| \log x \right|-1}\]
determinare il campo di esistenza, in quali punti esiste la derivata, la monotonia, eventuali estremi relativi ed infine dire se la funzione è invertibile in \(]0,\frac{1}{e}[\), ed eventualmente determinare la funzione inversa.
Le rispondo così:
Cara Giulia,
la funzione è definita per i valori positivi di \(x\) tali che o \(\log x\le -1\) o \(\log x\ge 1\), cioè ha dominio \({{D}_{f}}=\left] 0,\frac{1}{e} \right]\cup \left[ e,+\infty \right[\), si annulla in \(x=\frac{1}{e}\) e in \(x=e\), è positiva nel resto del dominio. Dove è definita, la funzione è continua, e presenta i seguenti limiti agli estremi del suo dominio:
\[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{\left| \log x \right|-1}=\sqrt{\left| -\infty \right|-1}=+\infty \quad \quad \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt{\left| \log x \right|-1}=+\infty \quad .\]
Per determinare la derivata di \(f(x)\), conviene osservare che \(f\left( x \right)=\sqrt{\log x-1}\) se \(x\ge e\), mentre \(f\left( x \right)=\sqrt{-\log x-1}\) se \(0<x\le \frac{1}{e}\), per cui:
\[{f}'\left( x \right)=-\frac{1}{2x\sqrt{-\log x-1}}\quad 0<x<\frac{1}{e},\quad {f}'\left( x \right)=\frac{1}{2x\sqrt{\log x-1}}\quad x>e\quad .\]
Poiché sia il limite per \(x\) che tende a \(1/e\) da destra che il limite per \(x\) che tende a \(e\) da sinistra di \(f’(x)\) risulta infinito, la funzione, benché continua in tali punti, non risulta in essi derivabile (punti a tangente verticale).
La funzione non presenta estremi relativi regolari poiché la derivata prima non si annulla mai; possiamo dire che in \(x=1/e\) e in \(x=e\) la funzione ha due punti di minimo, sia relativo che assoluto. Poiché la derivata prima nell’intervallo \(]0,\frac{1}{e}[\) ha segno costantemente negativo, in tale intervallo \(f(x)\) risulta monotona decrescente, così come risulta monotona crescente nell’intervallo \(]e,+\infty[\); la funzione, ristretta all’intervallo \(]0,\frac{1}{e}[\), risulta pertanto invertibile e la funzione inversa \(g\left( x \right)={{f}^{-1}}\left( x \right)\) ha espressione \(g\left( x \right)={{e}^{-{{x}^{2}}-1}}\), limitatamente a \(x\geq 0\).
Massimo Bergamini