Ricevo da Jessica la seguente domanda:Gent.mo professor Bergamini, ho qualche dubbio su come risolvere gli esercizi di continuità e derivabilità. Sul libro Matutor ho visto che dopo aver verificato la continuità per quanto riguarda la derivabilità vengono calcolate le derivate destra e sinistra e si controlla se hanno lo stesso valore oppure no. In alcune risposte, invece, poste da allievi ho visto che sono stati calcolati i limiti destro e sinistro della derivata prima. Quando usare un metodo o l’altro? La mia insegnante invece vuole che calcoliamo i limiti dei rapporti incrementali (destro e sinistro), ma in tal caso che valore sostituire a \(f(a)\) nel limite destro se in \(x=a\) la funzione è definita solo per esempio da sinistra?Grazie.Le rispondo così:Cara Jessica,la questione è piuttosto sottile... Bene fa comunque la tua professoressa a farti calcolare i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale in \(x=a\), la cui esistenza e coincidenza costituisce, per definizione, la condizione necessaria e sufficiente di derivabilità per \(f(x)\) in \(x=a\) (per quanto riguarda il valore di \(f(a)\), è necessariamente lo stesso sia per il limite destro del rapporto incrementale che per quello sinistro, se \(x=a\) è interno al dominio, anche qualora la definizione di \(f(x)\) abbia leggi diverse a destra e a sinistra di \(x=a\): almeno una delle due sarà definita in \(x=a\), e quindi \(f(a)\) è univocamente definito... se invece \(x=a\) è un estremo del dominio, si parlerà al più di derivabilità da destra o da sinistra in \(x=a\)). Tuttavia, si può dimostrare, utilizzando il teorema di Lagrange o il teorema di de l'Hopital, (che forse non hai ancora avuto modo di vedere...) che un criterio sufficiente di derivabilità in \(x=a\) è il seguente: supponendo che esista la funzione derivata \(f'(x)\) della funzione \(f(x)\) in un intorno di \(x=a\), escluso al più \(x=a\) stesso, se esiste (finito o infinito) \(\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f'\left( x \right)\), allora tale limite coincide con il limite del rapporto incrementale in \(x=a\) per l’incremento che tende a \(0\), cioè: se tale limite è infinito la funzione non è derivabile (tangente verticale), se tale limite è finito allora lo è, e il limite fornisce il valore di \(f'(a)\).In altre parole, se esistono il limite da destra e da sinistra di \(f'(x)\) per \(x\) che tende ad \(a\), finiti e coincidenti, la funzione è derivabile in \(x=a\)... Ma attenzione! Se dovesse darsi che non esista, nè finito nè infinito, \(\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f'\left( x \right)\), non posso affermare che sicuramente \(f(x)\) non sia derivabile in \(x=a\)! Devo tornare a verificare se eventualmente esista il limite del rapporto incrementale, perchè non è escluso che sia così, e che quindi la funzione sia derivabile! Esempio classico: \[f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} {{x}^{2}}\sin \frac{1}{x}\quad x\ne 0 \\ 0\quad\quad\quad\quad x=0 \end{array} \right.\] la funzione è sia continua che derivabile in \(x=0\), e \(f'(0)=0\), come si verifica facilmente a partire dal limite del rapporto incrementale calcolato in \(x=0\), ma il limite per \(x\) che tende a \(0\) della funzione \(f'(x)\) che si ottiene da \(f(x)\) applicando le regole di derivazione non ammette limite per \(x\) che tende a \(0\)!.... In altri termini, il criterio funziona solo "in positivo", cioè come condizione sufficiente ma non necessaria. Massimo Bergamini
