cioè: \[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{{{4}^{x}}+{{6}^{x}}+{{9}^{x}}}{3} \right)}^{\frac{1}{x}}}={{e}^{\ln 6}}=6\quad .\]In figura, possiamo vedere il comportamento locale delle funzioni che si ottengono nei casi \(p=2\), \(p=3\), \(p=4\), a conferma di quanto dedotto dalla precedente analisi.
Nel secondo caso, poiché \(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left| {{x}^{p}}-\cos {{x}^{p}} \right|=1\quad \forall p>0\), il limite si presenta nella forma \(\frac{0}{0}\), come confronto tra l’infinitesimo a numeratore e l’infinitesimo \(\sin {{x}^{p}}\), che è di ordine \(p\) rispetto al campione \(x\) nel limite per \(x\to 0\), essendo asintoticamente equivalente a \(x^p\); si tratta quindi, in definitiva, di stabilire l’ordine di infinitesimo del numeratore rispetto allo stesso campione, e possiamo utilizzare in questo caso gli sviluppi in polinomi di McLaurin dei vari addendi che costituiscono il numeratore stesso: \[\cos x-{{e}^{x}}+x\left( 1+x+{{x}^{2}} \right)=1-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+\frac{1}{24}{{x}^{4}}+...-1-x-\frac{1}{2}{{x}^{2}}-\frac{1}{6}{{x}^{3}}-\frac{1}{24}{{x}^{4}}-...+x+{{x}^{2}}+{{x}^{3}}=\]\[=\frac{5}{6}{{x}^{3}}+o\left( {{x}^{3}} \right)\]dove \(o\left( {{x}^{3}} \right)\) rappresenta un resto infinitesimo di ordine superiore a \(x^3\); quindi:
\[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\cos x-{{e}^{x}}+x\left( 1+x+{{x}^{2}} \right)}{\left| {{x}^{3}}-\cos {{x}^{3}} \right|\sin {{x}^{3}}}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{5}{6}\frac{{{x}^{3}}}{\sin {{x}^{3}}}=\frac{5}{6}\] mentre
\[0<p<3\to \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\cos x-{{e}^{x}}+x\left( 1+x+{{x}^{2}} \right)}{\left| {{x}^{p}}-\cos {{x}^{p}} \right|\sin {{x}^{p}}}=0\]\[p>3\to \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\cos x-{{e}^{x}}+x\left( 1+x+{{x}^{2}} \right)}{\left| {{x}^{p}}-\cos {{x}^{p}} \right|\sin {{x}^{p}}}=\frac{5}{6}\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}}{{{x}^{p}}}=\infty \] dove, nel caso \(p>3\), il segno dell’infinito è discorde nei limiti \(0^+\) e \(0^-\) se \(p-3\) è un intero dispari. In figura, possiamo vedere il comportamento locale delle funzioni che si ottengono nei casi \(p=2\), \(p=3\), \(p=4\), a conferma di quanto dedotto dalla precedente analisi.
Massimo Bergamini
