\(\left( -1,\sqrt{3} \right)\), \(\left( -1,-\sqrt{3} \right)\) nella parabola di equazione \(x=2-{{y}^{2}}\); utilizzando il teorema di Archimede (“area del segmento parabolico = \(\frac{2}{3}\) area del rettangolo circoscritto”), potremmo subito concludere che tale area è pari a \[{{S}_{A}}=\frac{2}{3}\left( 6\sqrt{3} \right)=4\sqrt{3}\]
ma se vogliamo utilizzare il calcolo integrale, possiamo considerare tale area come corrispondente all’integrale definito della funzione \(x=3-{{y}^{2}}\), ottenuta traslando di un’unità lungo \(x\) la funzione originale, nell’intervallo \(-\sqrt{3}\le y\le \sqrt{3}\), rispetto alla variabile \(y\): \[{{S}_{A}}=\int\limits_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}{\left( 3-{{y}^{2}} \right)dy}=2\int\limits_{0}^{\sqrt{3}}{\left( 3-{{y}^{2}} \right)dy}=2\left[ 3y-\frac{1}{3}{{y}^{3}} \right]_{0}^{\sqrt{3}}=\]\[=2\left( 3\sqrt{3}-\sqrt{3} \right)=4\sqrt{3}\quad .\]
Massimo Bergamini
