nel primo caso, posta uguale a \(x\) l’altezza di una delle due calotte, con \(0\le x \le r\), il raggio del cerchio sezione è dato da \(\sqrt{2rx-{{x}^{2}}}\), per cui le superfici \(C_1\) e \(C_2\) delle due calotte e la superficie \(C_3\) del cerchio sezione sono date da: \[{{C}_{1}}=2\pi rx\quad \quad {{C}_{2}}=4\pi {{r}^{2}}-2\pi rx\quad \quad {{C}_{3}}=\pi x\left( 2r-x \right)\]pertanto l’equazione richiesta è la seguente: \[\frac{4r\left( r-x \right)}{x\left( 2r-x \right)}=k\to k{{x}^{2}}-2r\left( 2+k \right)x+4{{r}^{2}}=0,\ 0\le x\le r\quad .\]
Non si perde generalità nel problema se si pone per comodità \(r=1\), quindi possiamo ricavare il seguente modello geometrico-analitico del nostro problema: \[\left\{ \begin{array}{lll} y=x^2 \\ ky-2(2+k)x+4=0 \\ 0\le x\le 1 \end{array} \right.\] equivalente al problema di intersecare il fascio proprio di rette di centro \((1,2)\) con l’arco della parabola canonica \(y=x^2\) di estremi \((0,0)\) e \((1,1)\); poiché la retta del fascio passante per \((0,0)\) è quella corrispondente a \(k=\infty\), mentre quella passante per \((1,1)\) è la retta verticale corrispondente a \(k=0\), concludiamo che il problema ammette una e una sola soluzione per ogni \(k\ge 0\).
Nel secondo caso, detta \(y\) l’altezza della calotta, con \(0\le y \le 2\), e posto che il raggio del cerchio sezione è \(\sqrt{2y-{{y}^{2}}}\), si ha l’equazione \[\frac{2\pi y+2\pi y\left( 2-y \right)}{4\pi }=k\to {{y}^{2}}-3y+2k=0,\quad 0\le y\le 2\] da cui possiamo ricavare il seguente modello geometrico-analitico del nostro problema: \[\left\{ \begin{array}{lll} Y=y^2 \\ Y-3y+2k=0 \\ 0\le y\le 2 \end{array} \right.\] equivalente al problema di intersecare il fascio improprio di rette di pendenza \(m=3\) con l’arco della parabola canonica \(Y=y^2\) di estremi \((0,0)\) e \((2,4)\); poiché la retta del fascio passante per \((0,0)\) è quella corrispondente a \(k=0\), quella passante per \((2,4)\) è quella corrispondente a \(k=1\), mentre quella tangente all’arco di parabola corrisponde a \(k=9/8\), concludiamo che il problema ammette una sola soluzione per \(0\le k < 1\), due soluzioni distinte per \(1\le k < 9/8\), due soluzioni coincidenti per \(k=9/8\).
Massimo Bergamini
