Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore, può farmi vedere la figura di questo problema?
In un cilindro circolare retto, di raggio \(r\) ed altezza \(h\), è inscritta, col centro \(O\) sull’asse del cilindro e col medesimo raggio \(r\) una sfera che si suppone non abbia punti esterni al cilindro. Si vuole che il volume della sfera risulti medio proporzionale tra i volumi dei due solidi rotondi che, sommati alla sfera, danno il cilindro.
1) Si determini a quale distanza da una delle basi del cilindro va preso il centro \(O\) della sfera.
2) Si esaminino i casi particolari \(h=4r\) e \(h=7r\), calcolando in ciascuno di essi i volumi dei due solidi rotondi su indicati.
3) Tenendo presente la condizione di realtà delle soluzioni, e la condizione esplicitamente aggiunta che i punti della sfera non sono esterni al cilindro, si dimostri che ogni assegnato \(h\) si deve supporre dato in modo da soddisfare alla limitazione \(4r\leq h \leq 7r\).
Le rispondo così:
Cara Elisa,
posta \(OC_1=x\) la distanza tra il centro \(O\) della sfera e il centro \(C_1\) del cerchio di base del cilindro, con \(r\leq x\leq h-r\), essendo \(C_1C_2=h\) l’altezza del cilindro, e \(2r\leq h\) affinchè la sfera possa essere tutta interna al cilindro stesso, indichiamo con \(V_1\) e \(V_2\) i volumi della parte di cilindro al di sopra e al di sotto rispettivamente della sfera, il cui volume è \(V=4\pi r^3/3\); si ha facilmente che:
\[{{V}_{1}}=\pi {{r}^{2}}\left( h-x \right)-\frac{2}{3}\pi {{r}^{3}}\quad \quad {{V}_{2}}=\pi {{r}^{2}}x-\frac{2}{3}\pi {{r}^{3}}\]
per cui la richiesta \(V_1:V=V:V_2\), cioè \(V^2=V_1\cdot V_2\), implica l’equazione:
\[\left( h-x-\frac{2}{3}r \right)\left( x-\frac{2}{3}r \right)=\frac{16}{9}{{r}^{2}}\to 3{{x}^{2}}-3hx+4{{r}^{2}}+2hr=0\]
Se la richiesta fosse solamente di discutere il numero di soluzioni in funzione del parametro \(h\) si potrebbe procedere come al solito studiando un modello geometrico-analitico equivalente al problema assegnato, ma poiché viene chiesta esplicitamente la soluzione \(x\) procediamo per via algebrica. Si ha ovviamente:
\[{{x}_{1}}=\frac{3h+\sqrt{9{{h}^{2}}-24r\left( 2r+h \right)}}{6}\quad {{x}_{2}}=\frac{3h-\sqrt{9{{h}^{2}}-24r\left( 2r+h \right)}}{6}\]
per cui la condizione di esistenza di almeno una soluzione del problema è
\[9{{h}^{2}}-24r\left( 2r+h \right)\ge 0\to 3{{h}^{2}}-8rh-16{{r}^{2}}\ge 0\to h\le -\frac{4}{3}r\vee h\ge 4r\]
dove la prima delle due disequazioni è priva di significato per il nostro problema, essendo ovviamente \(h>0\). Resta da verificare l’accettabilità delle soluzioni, cioè il fatto che si abbia \(r\leq x\leq h-r\). Esaminiamo separatamente le due soluzioni, anche se una considerazione di simmetria ci fa capire che, essendo \(x_2=h-x_1\), l’accettabilità dell’una implica l’accettabilità dell’altra, infatti:
\[r\le {{x}_{1}}\le h-r\to 3h+\sqrt{9{{h}^{2}}-24r\left( 2r+h \right)}\ge 6r\wedge 3h+\sqrt{9{{h}^{2}}-24r\left( 2r+h \right)}\le 6\left( h-r \right)\to \]
\[\to \sqrt{9{{h}^{2}}-24r\left( 2r+h \right)}\ge 3\left( 2r-h \right)\ \ \forall h\ge 2r\]
\[\to \sqrt{9{{h}^{2}}-24r\left( 2r+h \right)}\le 3h-6r\to 9{{h}^{2}}-48{{r}^{2}}-24rh\le 9{{h}^{2}}+36{{r}^{2}}-36rh\to ...\to h\le 7r\]
In modo analogo si mostra che anche l’accettabilità di \(x_2\), come previsto, implica la stessa limitazione su \(h\), per cui si perviene alla richiesta dimostrazione che il problema ammetta soluzione solo se \(4r\leq h \leq 7r\).
In particolare, per \(h=4r\) si ha:
\[{{x}_{1}}={{x}_{2}}=\frac{h}{2}=2r\to {{V}_{1}}={{V}_{2}}=V=\frac{4}{3}\pi {{r}^{3}}\]
nentre per \(h=7r\):
\[{{x}_{1}}=6r,\ {{x}_{2}}=h-{{x}_{1}}=r\to {{V}_{1}}=\frac{16}{3}\pi {{r}^{3}},\ {{V}_{2}}=\frac{1}{3}\pi {{r}^{3}}\quad .\]
Massimo Bergamini
