con riferimento alla figura, in cui il triangolo rettangolo \(POV\) rappresenta una semi-sezione del cono in un piano contenente l’asse di simmetria del cono stesso, si ricava subito che \(VP=30\), e quindi:
\[{{V}_{cono}}=\frac{1}{3}\pi 24\cdot {{18}^{2}}=2592\pi \] \[ {{S}_{cono}}=30\cdot 18\pi +{{18}^{2}}\pi =864\pi \quad .\]Dalle ipotesi, posta \(h=TO\) l’altezza del cilindro: \[\frac{{{V}_{sfera}}}{{{V}_{cilindro}}}=\frac{5}{8}\to {\frac{4}{3}\pi r_{S}^{3}}/{\pi r_{C}^{2}h}\;=\frac{5}{8}\to 15r_{C}^{2}h=32r_{S}^{3}\]e inoltre, sfruttando la similitudine dei triangoli \(SUV\), \(VTR\) e \(VOP\): \[\frac{SU}{SV}=\frac{3}{5}\to SV=\frac{5}{3}{{r}_{S}}\to \frac{5}{3}{{r}_{S}}+{{r}_{S}}+h=24\to h=24-\frac{8}{3}{{r}_{S}}\]\[\frac{TR}{TV}=\frac{3}{4}\to {{r}_{C}}=\frac{3}{4}\cdot \frac{8}{3}{{r}_{S}}=2{{r}_{S}}\] da cui:\[15\cdot 4r_{S}^{2}\left( 24-\frac{8}{3}{{r}_{S}} \right)=32r_{S}^{3}\to {{r}_{S}}=\frac{15}{2},\quad {{r}_{C}}=15,\quad h=4\]e di conseguenza: \[V={{V}_{cono}}-{{V}_{sfera}}-{{V}_{cilindro}}={{V}_{cono}}-\frac{13}{8}{{V}_{cilindro}}=2592\pi -\frac{13}{8}900\pi =\frac{2259}{2}\pi \quad .\]
Infine, l’angolo \(\alpha\) al centro del settore circolare si ottiene, in radianti, come rapporto tra la circonferenza di base del cono e il suo apotema: \[\alpha =\frac{2\pi \cdot 18}{30}=\frac{6}{5}\pi \quad .\]
Massimo Bergamini
