Ricevo da Rosalia la seguente domanda:
Non riesco a venire a capo dei seguenti esercizi (n.305 e n.306 pag 148Q Manuale Blu di Matematica):
1) Lo spigolo laterale di una piramide regolare a base quadrata misura \((\sqrt{6}+\sqrt{2})l\) (\(l\) è una lunghezza nota) e forma un angolo di \(75^\circ\) con la diagonale della base. Calcola l’angolo \(\phi\) della faccia laterale col piano di base e il volume \(\text{V}\) del cono circolare retto inscritto nella piramide.
2) Un cubo di spigolo \(l\) è inscritto in una piramide regolare a base quadrata in modo che quattro dei suoi vertici si trovano sugli spigoli laterali della piramide mentre gli altri stanno sulla sua base. Determina il volume della piramide sapendo che la tangente dell’angolo che le sue facce laterali formano con la base è \(2\).
Potrebbe aiutarmi? Grazie.
Le rispondo così:
Cara Rosalia,
nel primo problema, possiamo subito ricavare l’altezza \(VO\), la semi-diagonale di base \(AO\) e il semi-lato di base \(MO\):
\[VO=\left( \sqrt{6}+\sqrt{2} \right)l\sin \left( 75{}^\circ \right)=\frac{{{\left( \sqrt{6}+\sqrt{2} \right)}^{2}}}{4}l=\left( 2+\sqrt{3} \right)l\]
\[AO=\left( \sqrt{6}+\sqrt{2} \right)l\cos \left( 75{}^\circ \right)=\frac{\left( \sqrt{6}+\sqrt{2} \right)\left( \sqrt{6}-\sqrt{2} \right)}{4}l=l\to MO=\frac{AO}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}l\]
per cui
\[\tan \phi =\frac{VO}{MO}=\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}/2}=\sqrt{2}\left( 2+\sqrt{3} \right)\to \phi =\arctan \left( \sqrt{2}\left( 2+\sqrt{3} \right) \right)\quad .\]
Il cono circolare retto inscritto nella piramide ha raggio di base \(MO\) e altezza \(VO\), pertanto il suo volume è:
\[\text{V}=\frac{2+\sqrt{3}}{6}\pi {{l}^{3}}\quad .\]
Nel secondo problema, la condizione sull’angolo \(\phi\) implica che \(VO=2MO\), e quindi, per similitudine dei triangoli \(MOV\) e \(PQV\), e dovendo essere \(PQ=RO=QO/2\), si ricava \(VO=2QO=2l\) e \(MO=l\), per cui il volume \(\text{V}\) della piramide risulta
\[\text{V}=\frac{4{{l}^{2}}\cdot 2l}{3}=\frac{8}{3}{{l}^{2}}\quad .\]
Massimo Bergamini
guglielmo
18 aprile 2024 alle 21:14
salve, su questa pagina web (https://aulascienze.scuola.zanichelli.it/multimedia-scienze/esperto-matematica/due-problemi-di-trigonometria-e-geometria-solida) ho trovato la soluzione di un suo esercizio ma purtroppo le immagini non sono più disponibili quindi non riesco a seguire la correzione. Potrebbe molto gentilmente farmi avere l'esercizio risolto completo? Grazie e saluti.