Ricevo da Mery la seguente domanda:
Caro professore, mi aiuterebbe a impostare i problemi n.450 e n.451 di pagina u183?
La ringrazio
Le rispondo così:
Cara Mery,
nel primo problema i punti \(C\) e \(D\) del quadrante di cerchio \(OAB\) di raggio \(OA=r\) sono tali che l’angolo \(AOD\) è il doppio dell’angolo \(x=AOC\). Posto che \(C^\prime \) e \(D^\prime\) sono le proiezioni di \(C\) e \(D\) su \(OA\), si richiede di valutare
\[\underset{D\to A}{\mathop{\lim }}\,\frac{D'A}{C'A}\quad \quad \underset{D\to A}{\mathop{\lim }}\,\frac{D'C'}{C'A}\quad .\]
La trigonometria elementare ci consente di scrivere:
\[D'A=r-r\cos 2x\quad C'A=r-r\cos x\quad D'C'=r\cos x-r\cos 2x\]
pertanto:
\[\underset{D\to A}{\mathop{\lim }}\,\frac{D'A}{C'A}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\cos 2x}{1-\cos x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{\sin }^{2}}x}{{{x}^{2}}}\cdot \frac{{{x}^{2}}}{1-\cos x}=2\cdot 2=4\]
\[\underset{D\to A}{\mathop{\lim }}\,\frac{D'C'}{C'A}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\cos x-\cos 2x}{1-\cos x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{-2{{\cos }^{2}}x+\cos x+1}{1-\cos x}=\]
\[=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 1-\cos x \right)\left( 2\cos x+1 \right)}{1-\cos x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( 2\cos x+1 \right)=3\quad .\]
Nel secondo problema, le corde \(AC\) e \(AD\) della semicirconferenza di diametro \(AB=2r\) sono tali che l’angolo \(COD\) misura \(\pi/3\), e la semiretta \(AE\) è tangente in \(A\) alla semicirconferenza. Detto \(x\) l’angolo \(EAC\), si tratta di esprime in funzione di esso l’area \(S(x)\) del triangolo \(CAD\) e quindi valutare
\[\underset{D\to B}{\mathop{\lim }}\,\frac{S\left( x \right)}{C{{D}^{2}}}\quad .\]
Innanzitutto osserviamo che, per il teorema della corda, \(CD=r\) e anche che l’angolo al centro sotteso dalla corda \(AC\) è \(2x\) (si osservi il triangolo rettangolo \(OAH\), essendo \(OH\) l’asse di \(AC\)) e quindi, sempre per il teorema della corda, anche l’angolo \(ADC\) è pari a \(x\). La corda \(AD\) sottende un angolo al centro pari a \(2x+\pi/3\), per cui si ha:
\[AD=2r\sin \left( x+\frac{\pi }{6} \right)\]
L’area del triangolo \(CAD\) si può dunque calcolare in questo modo:
\[S\left( x \right)=\frac{1}{2}CD\cdot AD\cdot \sin x={{r}^{2}}\sin x\cdot \sin \left( x+\frac{\pi }{6} \right)\]
per cui, osservando che \(D\to B\) implica \(x\to \pi /2\), si ha:
\[\underset{D\to B}{\mathop{\lim }}\,\frac{S\left( x \right)}{C{{D}^{2}}}=\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{r}^{2}}\sin x\cdot \sin \left( x+\pi /6 \right)}{{{r}^{2}}}=\]
\[=\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\mathop{\lim }}\,\sin x\cdot \sin \left( x+\pi /6 \right)=\sin \left( \frac{2}{3}\pi \right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\quad .\]
Massimo Bergamini