Caro Ettore,
deriviamo le funzioni che rappresentano le due parabole e ricaviamo le equazioni delle rette tangenti alle due parabole nei loro generici punti \(\left( k,-\frac{1}{2}{{k}^{2}}+2k+3 \right)\) e \(\left( h,{{h}^{2}}+8k+12 \right)\) rispettivamente: \[y=\left( -k+2 \right)x+\frac{{{k}^{2}}}{2}+3\] \[y=\left( 2h+8 \right)x-{{h}^{2}}+12\]
da cui, uguagliando i coefficienti: \[-k+2=2h+8\] \[\frac{{{k}^{2}}}{2}+3=-{{h}^{2}}+12\to \]\[\to k=-4,h=-1\quad \vee \quad k=0,h=-3\quad .\] Le rette tangenti comuni hanno pertanto equazioni:
\[r:y=2x+3\quad s:y=6x+11\] e i punti di tangenza sono: \[A\left( -3,-3 \right),B\left( -1,5 \right),C\left( 0,3 \right),D\left( -4,-13 \right)\quad .\] Il punto di intersezione tra le rette \(r\) e \(s\) è \(E\left( -2,-1 \right)\), per cui la retta \(t\) ha equazione \(y=-1\), e incontra le parabole rispettivamente nei punti \(F\left( -4-\sqrt{3},-1 \right)\), \(G\left( -4+\sqrt{3},-1 \right)\), \(H\left( 2-2\sqrt{3},-1 \right)\), \(I\left( 2+2\sqrt{3},-1 \right)\), per cui: \[\overline{FG}=2\sqrt{3},\ \overline{HI}=4\sqrt{3}\to \overline{HI}=2\overline{FG}\] come volevasi dimostrare.
Massimo Bergamini
