Ricevo da Luca la seguente domanda:
Gentile professore, se possibile vorrei che Lei mi aiutasse a risolvere quest'integrale, ho provato in diversi modi ma non sono riuscito a trovare una soluzione, grazie
Luca
\[\int{\sin \left( x \right)}\arctan \left( \cos \left( x \right) \right)\,dx\]
Gli rispondo così:
Caro Luca,
la prima cosa che si osserva è la possibilità di effettuare la sostituzione \(\cos(x)=t\), da cui \(dt=-\sin(x)dx\), per cui l’integrale diventa
\[\int{\sin \left( x \right)}\arctan \left( \cos \left( x \right) \right)\,dx=-\int{\arctan \left( t \right)\,dt}\]
e l’integrale di \(\arctan(t)\) si risolve per parti, assumendo l’unità come fattor finito e \(\arctan(t)\) come fattor differenziale:
\[-\int{\arctan \left( t \right)\,dt}=-t\arctan \left( t \right)+\int{\frac{t}{1+{{t}^{2}}}\,dt}=-t\arctan \left( t \right)+\frac{1}{2}\int{\frac{2t}{1+{{t}^{2}}}\,dt}\]
L’ultimo integrale è del tipo \(f^\prime/f\), per cui
\[-\int{\arctan \left( t \right)\,dt}=-t\arctan \left( t \right)+\frac{1}{2}\ln \left( 1+{{t}^{2}} \right)+c\ .\]
Sostituendo di nuovo \(t=cos(x)\) si ha:
\[\int{\sin \left( x \right)}\arctan \left( \cos \left( x \right) \right)\,dx=\frac{\ln \left( 1+{{\cos }^{2}}x \right)}{2}-\cos x\cdot \arctan \left( \cos x \right)\quad .\]
Massimo Bergamini