parobole tangenti in \(B\) alla retta \(t\) combinando linearmente i due elementi “degeneri” del fascio stesso, cioè la retta \(t\) e la doppia retta parallela all’asse \(y\) passante per \(B\), cioè \((x-4)^2=0\); poiché si ricava facilmente che la retta \(t\) ha equazione \(4x+y-13=0\), otteniamo:\[4x+y-13-k{{\left( x-4 \right)}^{2}}=0\Rightarrow y=k{{x}^{2}}-4\left( 2k+1 \right)x+16k+13\]da cui, imponendo il passaggio per il punto \(A\): \[0=k-4\left( 2k+1 \right)+16k+13\Rightarrow k=-1\Rightarrow y=-{{x}^{2}}+4x-3\]che è la parabola cercata. Detta \(C\) la proiezione di \(P\) sull’asse \(x\), possiamo ricavare l’area del triangolo \(APQ\) come semiprodotto delle misure dei segmenti \(PQ\) e \(AC\). Posto che l’ascissa \(x\) di \(C\), che è anche l’ascissa di \(P\) e di \(Q\), è compresa tra \(1\) e \(4\), e che in tale intervallo l’ordinata di \(P\) è sempre maggiore o uguale a quella di \(Q\), che appartiene alla retta \(AB\) di equazione \(y=-x+1\), si ha: \[PQ=-{{x}^{2}}+4x-3-\left( -x+1 \right)=-{{x}^{2}}+5x-4\quad \quad AC=x-1\] da cui \[{{S}_{APQ}}=\frac{-{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-9x+4}{2}\Rightarrow {{S}_{APQ}}=4\leftrightarrow -{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-9x=0\to x{{\left( x-3 \right)}^{2}}=0\to {{x}_{1}}=0\vee {{x}_{2}}=3.\] La soluzione accettabile è \(x=3\), alla quale corrispondono i punti \(P(3,0)\) e \(Q(3,-2)\).
Il fascio di cui al punto c) è già stato determinato al punto a): in particolare, essendo l’ordinata del vertice di una parabola del fascio data dall’espressione \[-\frac{\Delta }{4a}=\frac{-16{{\left( 2k+1 \right)}^{2}}+4k\left( 16k+13 \right)}{4k}=\frac{-3k-4}{k}\] si ha che la condizione di appartenenza di tale vertice all’asse \(x\) è \(-3k-4=0\), cioè \(k=-4/3\), a cui corrisponde la parabola di equazione \[y=-\frac{4}{3}{{x}^{2}}+\frac{20}{3}x-\frac{25}{3}\quad .\]
Massimo Bergamini
