Un’equazione complessa

Ricevo da Domenica la seguente domanda:

 

Gentile professore,

ho questa equazione: \[x^4+6x^2+25=0\quad.\]

Non riesco a trovare le soluzioni riportate dal testo, forse perché non riesco a scrivere le soluzioni in forma trigonometrica prima di calcolare le radici quadrate. Mi può aiutare?

Grazie.

 

Le rispondo così:

 

Cara Domenica,

posto che le soluzioni complesse dell’equazione sono tali che \[{{x}^{2}}=-3+4i\quad \vee \quad {{x}^{2}}=-3-4i\]

se vogliamo ricavare le soluzioni come radici complesse utilizzando la forma trigonometrica, possiamo riscrivere le equazioni in questo modo: \[{{x}^{2}}=5\left( -\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i \right)\quad \vee \quad {{x}^{2}}=5\left( -\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i \right)\] e quindi, posto \(\cos \alpha =-\frac{3}{5}\) e \(\sin \alpha =\frac{4}{5}\), si possono ricavare le radici nel modo usuale: \[{{x}_{1}}=\sqrt{5}\left( \cos \frac{\alpha }{2}+\sin \frac{\alpha }{2}i \right)\quad {{x}_{2}}=-\sqrt{5}\left( \cos \frac{\alpha }{2}+\sin \frac{\alpha }{2}i \right)\]\[{{x}_{3}}=\sqrt{5}\left( \cos \frac{\alpha }{2}-\sin \frac{\alpha }{2}i \right)\quad {{x}_{4}}=-\sqrt{5}\left( \cos \frac{\alpha }{2}-\sin \frac{\alpha }{2}i \right)\]

da cui, essendo \(\alpha/2\) sicuramente compreso nel primo quadrante: \[\cos \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{1-3/5}{2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\quad \sin \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{1+3/5}{2}}=\frac{2}{\sqrt{5}}\]e infine:

\[{{x}_{1}}=1+2i\quad {{x}_{2}}=-1-2i\]\[{{x}_{3}}=1-2i\quad {{x}_{4}}=-1+2i\quad .\]

Massimo Bergamini

Per la lezione

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