Probabilità e monete

Ricevo da Maria Luisa la seguente domanda: Buonasera, ho un problema che non so proprio risolvere, capisco la risposta intuitivamente ma non matematicamente. Ci sono tre salvadanai identici e contenenti rispettivamente: \(2\) monete d'oro, \(1\) d'oro e l'altra d'argento e \(2\) monete d'oro. Si pesca a caso da un salvadanaio e si trova una moneta d'oro. Qual é la probabilità che anche l'altra moneta sia d'oro ? Grazie. Le rispondo così: Cara Maria Luisa, si tratta di un esempio di calcolo della probabilità (condizionata) che, sapendo che un dato evento multi-causato si è verificato, ciò sia avvenuto perché si è verificata una o più delle sue cause possibili (teorema di Bayes). Nel nostro caso, l’evento in questione è \(E\)=“la prima moneta estratta è d’oro”, evento unione di tre distinte possibilità (le “cause”): \(E_1\)=”è stato scelto il 1° salvadanaio e la prima estratta è d’oro”, \(E_2\)=” è stato scelto il 2° salvadanaio e la prima estratta è d’oro”, \(E_3\)=” è stato scelto il 3° salvadanaio e la prima estratta è d’oro”; pertanto, poiché la scelta del salvadanaio è casuale, con probabilità \(\frac{1}{3}\) per ciascuna scelta, la probabilità dell’evento \(E\) è data dalla seguente somma: \[p\left( E \right)=p\left( {{E}_{1}} \right)+p\left( {{E}_{2}} \right)+p\left( {{E}_{3}} \right)=\frac{1}{3}\cdot 1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{3}\cdot 1=\frac{5}{6}\quad .\] Ora, poiché l’evento \(E\) è dato per avvenuto, esso costituisce il nuovo “evento universo” (l’evento multi-causato) rispetto a cui rapportare un particolare sotto-evento specifico: nel nostro esempio, la cosa è un po’ indiretta, poiché si tratta di osservare in corrispondenza a quale o quali dei tre eventi \(E_1\), \(E_2\) e \(E_3\) si verificherà che la 2° estrazione sarà di nuovo una moneta d’oro, e facilmente si conclude che questo avverrà necessariamente solo nel caso che si siano verificati o \(E_1\) o \(E_3\), cioè con probabilità complessiva di \(\frac{2}{3}\), probabilità da riferire alla probabilità che si sia verificato \(E\), pertanto, indicando con \(E’\) l’evento “la 2° moneta estratta è d’oro”, la probabilità richiesta è: \[p\left( E'|E \right)=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{6}}=\frac{4}{5}\quad .\] Massimo Bergamini

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