la prima condizione equivale alla richiesta che il denominatore della frazione algebrica sia nullo per \(x=\frac{1}{2}\), cioè: \(a=-2b\). La seconda condizione equivale alla richiesta che l’integrale improprio tra \(1\) e \(+\infty\) della funzione valga \(1/2\), cioè: \[\int\limits_{1}^{+\infty }{\frac{1}{{{\left( b-2bx \right)}^{2}}}dx}=\underset{k\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{1}^{k}{\frac{1}{{{b}^{2}}{{\left( 1-2x \right)}^{2}}}dx}=\]\[=\frac{1}{2{{b}^{2}}}\underset{k\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \frac{1}{1-2x} \right]_{1}^{k}=\frac{1}{2}\] da cui: \[\frac{1}{2{{b}^{2}}}\underset{k\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{1-2k}+1 \right)=\frac{1}{2}\to \frac{1}{2{{b}^{2}}}=\frac{1}{2}\leftrightarrow b=\pm 1\] e pertanto si ha o \(b=1\) e \(a=-2\), o \(b=-1\) e \(a=2\).
Massimo Bergamini
